Aplicacion de las ecuaciones diferenciales a la ing. quimica

Lecci´n 7 o Ecuaciones diferenciales de primer orden: Aplicaciones a la Ingenier´ Qu´ ıa ımica

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Ecuaciones Diferenciales en Cin´tica Qu´ e ımica
Ecuaci´n estequiom´trica: o e a A + b B + ··· = p P + q Q + ··· o 0 = −a A − b B − . . . + p P + q Q + . . . = νA A + νB B + . . . + νP P + νQ Q + . . . Velocidad de la reacci´n: o 1 d[A] 1 d[B] 1 d[P] 1 d[Q] v =− =− = = = ··· a dt b dt p dt q dt[A]= concentraci´n de A en moles/(unidad de volumen). o Reacci´n elemental: La velocidad de reacci´n s´lo depende de la o o o concentraci´n de reactivos: o v = k[A]α [B]β · · · k = constante de velocidad de reacci´n. o α + β + · · · = orden de la reacci´n. o
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Reacciones elementales
Orden de la reacci´n o 1 2 . . . Forma A −→ Productos 2A −→ Productos A + B −→ Productos . . .

A + B −→Productos d[A] d[B] v =− =− = k[A][B], dt dt Si [A]0 = a, [B]0 = b y x(t) = concentraci´n (en moles/litro) de o [A] o [B] que han reaccionado hasta el instante t, entonces [A] = (a − x(t)) y [B] = (b − x(t)). v =− d[A] d(a − x) dx =− = = k(a − x)(b − x) dt dt dt
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Un ejemplo m´s complicado a
Ejemplo
Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que se producenconsecutivamente en un reactor: A+S X +S
1 −→

k

X Y

2 −→

k

Si inicialmente se a˜aden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cu´l es la fracci´n n a o molar de X cuando ya ha sido consumida la mitad de A? Sup´ngase que o k2 /k1 = 2. [X ] Fracci´n molar de X = o [A] + [S] + [X ] + [Y ]  d[A]  dt = −k1 [A][S]   d[Y ]  dt = k2 [X ][S] d[X ]  dt = k1 [A][S] − k2 [X ][S]   d[S]  dt = −k1 [A][S] −k2 [X ][S]
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Balances de Masa
Concentraci´n de contaminante en un lago o
cantidad de contaminante en el instante t + ∆t = + cantidad de contaminante + en el instante t cantidad de contaminante que ha entrado desde t − hasta t + ∆t cantidad de contaminante que ha salido desde t + hasta t + ∆t cantidad de contaminante generado a partir de otros productos por reacciones qu´ ımicas entre t y t +∆t

−

+

Flujo de masa: cantidad de materia por unidad de tiempo

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cantidad cantidad − de contaminante de contaminante en el instante t + ∆t en el instante t = ∆t     cantidad cantidad de contaminante    de contaminante  que ha entrado desde t que ha salido desde t hasta t + ∆t hasta t + ∆t − + ∆t ∆t   cantidad de contaminante generado a partir de   otros productos porreacciones qu´ ımicas entre t y t + ∆t + ∆t Tomando l´ ımites cuando ∆t → 0: dm = me − ms + mr , ˙ ˙ ˙ dt Acumulaci´n= Entrada-Salida+ Generaci´n o o

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El CSTR: un modelo ideal para balances de masa
Entrada Entrada
Gener acion

Salida Acumulacion

Si c(t) = concentraci´n de materia en el instante t y o V (t) = volumen de l´ ıquido en el CSTR en el instante t: dm d(c(t)V (t)) = dt dtEstado estacionario: las concentraciones y el volumen no cambian dm con el tiempo: =0 dt Estado no estacionario: los caudales de entrada o salida comienzan o paran en un cierto momento, o la concentraci´n de entrada var´ o ıa de un momento a otro, o hay variaci´n de volumen en la regi´n de o o dm control de volumen: =0 dt 7

Fujos de entrada y salida y generaci´n o
Flujo de masa entrante: me = Qe(t) · ce (t) ˙ Qe (t)= caudal entrante, ce (t)= concentraci´n entrante. o Flujo de masa saliente: ms = Qs (t) · c(t) ˙ Qs (t)= caudal saliente, c(t)= concentraci´n saliente= o concentraci´n en el CSTR. o Generaci´n: Flujo de materia producida o destru´ por o ıda unidad de tiempo debido a, por ejemplo, reacciones qu´ ımicas d(cr (t)V (t)) dMr entre los componentes: mr = dt = ˙ . dt Mr (t)= cantidadde materia producida por reacci´n qu´ o ımica. Puede ser:
dMr = 0: Materia conservativa. dt dcr (t) = −k: Decaimiento de orden 0 dt dcr (t) = −kc(t): Decaimiento de orden 1 dt Producci´n de materia. o
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Ejemplos
Ejemplo
Se utiliza un CSTR para el tratamiento de desechos industriales utilizando una reacci´n que destruye los desechos de acuerdo con una cin´tica de o e dcr (t) primer...