APLICACION DE LAS SERIES DE FOURIER

APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER

Resumen—En este artículo se explican los efectos de la Simetría de las señales sobre los coeficientes de la serie de Fourier. También se presentan algunas de las aplicaciones más importantes de las series de Fourier, desarrolladas en varias ramas de la matemática y la física.

Índice de Términos—Problema isoperimétrico, desigualdad de Wirtinger,Formula de Poisson.
I. INTRODUCCION
Muchas ecuaciones de la física matemática se resuelven descomponiendo las incógnitas en series de las variables independientes. Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales sumas, las series de Fourier se aplican donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales denaturaleza económica, en electrónica, en acústica o en óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados como problemas muy difíciles.

II. EFECTOS DE LA SIMETRIA DE LA SEÑAL SOBRE LOS COEFICIENTES DE FOURIER

Identificar si una señal es de naturalezapar o impar resulta útil para el análisis para la serie de Fourier, ya que reduce los cálculos precisando en un solo componente en la serie. Pues conocer si una función periódica es par o impar, conduce a tener solamente cosenos o senos para la serie de Fourier, respectivamente.

Función Par -- gráficamente una función par es simétrica al eje Y, es decir, a las partes negativa y positiva del eje Xles corresponde el mismo valor en Y, por ejemplo, funciones cuadradas, coseno o una función constante. En el caso que la señal sea de simetría par, la presencia de términos seno se anulan, es decir, y solo se calcula .
Función Impar -- es simétrica al eje X o al origen, gráficamente. En el caso que la señal sea de simetría impar, la presencia de términos coseno y la componente dc se anulan, esdecir, y solo se calcula .


III. APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER
La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema del flujo del calor presentado a la academia de ciencias en 1811 y publicado en parte como la célebre teoría analítica del calor en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida en unaserie trigonométrica. El poder extraordinario y la flexibilidad de las series de Fourier se ponen de manifiesto en la asombrosa variedad de aplicaciones que estas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática desde la teoría de números y geometría hasta la mecánica quántica.……………………………
Algunas de las más importantes aplicaciones de las series de Fourier son:

El problemaisoperimétrico:

Teorema -- Si C es una curva cerrada simple de clase C1 y de longitud 1, entonces el área A encerrada por C satisface la desigualdad . La igualdad se satisface si y solo si C es una circunferencia. En consecuencia, entre todas las curvas cerradas simples de longitud 1 la que encierra mayor área es la circunferencia.

Demostración -- Supongamos que la curva C esta parametrizada enla forma (x(t); y(t)), donde el parámetro t representa la longitud de arco. En virtud del teorema de Stokes.








Por otra parte, puesto que la curva C tiene perímetro 1, tenemos que:













Luego que es precisamente el área encerrada por una circunferencia de longitud 1.
Supongamos ahora que se satisface la igualdad y demostremos que la curva C es unacircunferencia. En efecto, si entonces

Esta última relación implica que si , entonces , y si , entonces y . Por otra parte,

,
Similarmente

Análogamente, y .
Desarrollando las funciones x(t) y y(t) en series de Fourier, obtenemos entonces que:

Luego de las anteriores ecuaciones se deduce que:
O en otras palabras C es una circunferencia.

Temperatura de la tierra:

Un problema...