Aplicaciones Afines

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

´ ALGEBRA ´ TRABAJO ACADEMICO 2

1. Consid´rese el endomorfismo f de R3 que respecto de la base B = {v1 , v2 , v3} verifica: e   f (v1 ) = (1 − r)v1 + 4v2 f (v1 − 2v3 ) = (1 − r)v1  v2 es autovector asociado al autovalor s e (a) Obt´ngase la matriz del endomorfismo f . (b) Disc´tase en qu´casos es f diagonalizable en funci´n de los par´metros r, s ∈ R. u e o a (c) Calc´lese la matriz diagonal y los subespacios propios en todos los casos en que f sea diagonalizable. u(d) H´llese la matriz de paso, en los casos en que el endomorfismo sea diagonalizable. a (e) Obt´ngase la matriz de Jordan en los casos en que no sea diagonalizable y la base respectode la cual e el endomorfismo se representa a trav´s de dicha matriz de Jordan. e 2. Sea (V, ) un espacio vectorial eucl´ ıdeo y B = {e1 , e2 , e3 } una base de V que verifica: e1
2= 2,

e2 = 1,

e3 = 2,

e1 + e3

2

=5

Sup´ngase que e2 es ortogonal a e1 y a e2 + e3 y en este contexto: o e o (a) Obt´ngase la matriz producto escalar con respecto adicha base y la expresi´n matricial de dicho producto escalar. (b) H´llese una base ortonormal de V . a (c) Calc´lese la proyecci´n ortogonal del vector e2 + e3 sobre el subespacio W< V generado por los u o vectores e1 + e3 y e3 − e2 . 3. Real´ ıcese un estudio sobre los aspectos m´s relevantes de la Geometr´ en espacios afines y en espacios a ıa eucl´ ıdeos, ysus aplicaciones en la Ingenier´ ıa.

Indicaci´n: Los c´lculos correspondientes a los 2 problemas deber´n realizarse usando el programa de pr´cticas o a a a Mathematica. El estudiodel ejercicio 3 deber´ presentarse de acuerdo a las normas de elaboraci´n publicadas a o en el moodle de la asignatura. Fecha l´ ımite de presentaci´n: 20 de diciembre de 2012. o