Aplicaciones Algebra Lineal

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades
Definici´n [Sistema de ecuaciones lineales] o Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´gnitas, es un conjunto de m igualdades que se o pueden escribir en la forma:   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 (1) . . . . . . . .  . . . .    am1 x1 + am2 x2 + · · · +amn xn = bm • Coeficientes: aij para i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n

• T´rminos independientes: bi para i = 1, 2, · · · , m, e o • Inc´gnitas del sistema: x1 , x2 , · · · , xn En el caso particular de que b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema se denomina homog´neo. e

Matriz del sistema      a11 a21 . . . a12 a22 . . . · · · a1n · · · a2n . . . b1 b2 . . .     

Matriz decoeficientes      a11 a21 . . . a12 a22 . . . · · · a1n · · · a2n . . .     

am1 am2 · · · amn bm

am1 am2 · · · amn

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Soluci´n de un sistema de ecuaciones. o
Definici´n o Diremos que un conjunto de n n´meros ordenados (α1 , α2 , , · · · , αn ) es una soluci´n del sistema u o ( 1) si satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas equivalentes.
Definici´n o Diremos quedos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. (Obs´rvese que no necesariamente han de tener el mismo n´mero de ecuaciones.) e u

Clasificaci´n de un sistema de ecuaciones lineales. o
Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en: • Incompatibles: si no tienen soluci´n. o • Compatibles: si tienen al menos una soluci´n. o A suvez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en funci´n del n´mero o u de soluciones, en: Determinados: si tienen una unica soluci´n. ´ o Indeterminados: si tienen m´s de una, en cuyo caso tendr´n infinitas soluciones. a a Notemos que los sistemas homog´neos tienen siempre, al menos, la soluci´n (0, 0, · · · , 0) que e o recibe el nombre de soluci´n trivial, por ello siempre soncompatibles. o

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Discusi´n y resoluci´n de sistemas por el m´todo de Gauss o o e

Sistema escalonado
Definici´n o Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido) si la matriz del sistema verifica que: (a) Todos los elementos por debajo de los aii para i = 1, 2, · · · , n son nulos. (b) El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, est´ a la derecha delprimer a elemento diferente de cero (pivote) de la fila anterior. (c) Cualquier fila formada unicamente por ceros est´ bajo todas las filas con elementos ´ a diferentes de cero.

M´todo de eliminaci´n de Gauss e o
1. Localizamos en la primera columna no nula, de la matriz del sistema, el primer elemento no nulo a. 2. Intercambiamos la primera fila con la fila en la que se encuentra a. 3. Multiplicamosla primera fila por a−1 . u a 4. Sumando m´ltiplos adecuados de la primera fila a las dem´s, anulamos todos los elementos de la primera columna no nula menos el primero. 5. Repetimos el proceso, con la matriz que resulta de eliminar la primera fila y la primera columna, hasta conseguir un sistema escalonado.

Una vez obtenido el sistema escalonado, se resuelve por sustituci´n regresiva. o

3Aplicaci´n del m´todo de Gauss a la resoluci´n o e o de un sistema de ecuaciones lineales con o sin par´metros a

 a  B´sicas : Corresponden a pivotes Inc´gnitas o  Libres : No corresponden a pivotes

Al n´mero de inc´gnitas libres se le denomina n´mero de grados de libertad del sistema. u o u

Sistema escalonado: 1. Aparece una fila al menos, en la matriz del sistema, que tiene todos loselementos nulos salvo el ultimo (es decir hay alguna ecuaci´n de la forma 0 = b con b = 0 ). En dicho caso ´ o el sistema escalonado y, por tanto, el inicial son incompatibles. 2. En caso contrario el sistema es compatible. (a) Si el n´mero de pivotes coincide con el de inc´gnitas, es decir, no hay inc´gnitas u o o libres, el sistema tiene soluci´n unica. La soluci´n se obtiene por sustituci´n...