Aplicaciones-cadenas de markov

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AREQUIPA – PERÚ
2010-A

APLICACIONES PROPUESTAS - CADENAS DE MARKOV

APLICACIÓN 1.- Una máquina puede estar en dos estados: F “funciona” o Q “averiada”, con tFF = 0.8, tQQ = 0.4, tQF = 0.6, tFQ = 0.2. Cuando funciona da una utilidad de 480 por periodo y, cuando está averiada, los gastos son de 160 por periodo.

0.8 0.6
Q
F
0.2


0.4F Q
T=FQ0.80.20.60.4


a) ¿Cuál es la ganancia media por periodo?

Xn= Xn-1 T Cuando n →∞
Xn= Xn-1= π
π=Vector de estado estable
π= πT
X1X2=X1X20.80.20.60.4

X1=0.8X1+ 0.6X2
X2=0.2X1+ 0.4X1
X1+ X2=1

π=[0.75 0.25]
GANANCIA PROMEDIO = 480 (0.75) + (-160) (0.25) = $ 320
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lamáquina este averiada en el tercer periodo?

X3=X2T
X2=X1T
X1=X0T
X0=1 0Asumiendo que la maquina esta funcionando

X3=[0.75 0.25]
TIENE UNA PROBABILIDAD DE 25% QUE ESTE AVERIADA EN E TERCER PERIODO.
c) En un periodo de 1 año, ¿Cuántos meses funcionará la máquina? Y ¿Cuántos meses estará averiada?

F = 12 x 0.75 = 9 MESES FUNCIONARA
Q = 12 x 0.25 = 3 MESES AVERIADA
d)Verifique si un plan de mantenimiento preventivo que cuesta $50 por periodo, alterando: tFF a 0.9 y tQQ a 0.3 vale la pena.

F Q
T'=FQ0.90.10.70.3

π'=[0.875 0.125]
GANANCIA ESPERADA = $400 - $50 = $350
ES CONVENIENTE APLICAR EL MANTENIMIENTO PREVENTIVO
YA QUE OBTENEMOS UNA MAYOR GANANCIA ($350 > $320)
APLICACIÓN 2.-Calcule la situación de régimen para el modelo cuyas probabilidades de transición son las siguientes:
t11= 0.4 t22=0.3 t31=0.5
t12= 0.3 t23=0.7 t33=0.5
t13= 0.3
Repita en el caso de t23=0,4 en vez de 0,7.

| | t1 | t2 | t3 |
| t1 | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
T= | t2 | 0 | 0,3 | 0,7 |
| t3 | 0,5 | 0 | 0,5 |

: Vector de distribución de estado estable).
Por lotanto: = .T
Deseando calcular los elementos de = [A B C], tenemos:

[A B C] = [A B C]
Además de:
1 + 2 + 3 =1
El sistema de ecuaciones sería:
1 + 2 + 3 =1
0,41 + 0,53 = 1
0,31 + 0,32 = 2
0,31 + 0,72 + 0,53 = 3

Solución es: = [ 0,38 0,16 0,46]
Con t23=0,4 en vez de 0,7.

| | t1 | t2 | t3 |
| t1 | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
T= | t2 | 0 | 0,6 | 0,4 |
|t3 | 0,5 | 0 | 0,5 |

[A B C] = [A B C]
Además de:
1 + 2 + 3 =1

El sistema de ecuaciones sería:
1 + 2 + 3 =1
0,41 + 0,53 = 1
0,31 + 0,62 = 2
0,31 + 0,42 + 0,53 = 3

Solución es: = [0,34 0,26 0,41]

APLICACIÓN 3.- Un asaltante notorio puede estar en uno de tres estados:
i) Suelto, practicando asaltos.
ii) Preso en la delegación de policía,esperando su transferencia.
iii) Preso en la cárcel.
Considerando las siguientes probabilidades de transición:
taa = 0.6; Permanecer suelto.
tab = 0.4; Ser preso y llevado para la delegación.
tba = 0.2; Fugar de la delegación.
tbb = 0.2; Continuar en la delegación.
tbc = 0.6; Ser llevado a prisión.
tcc = 0.8; Continuar en la prisión.
tca = 0.2; Fugar de la prisión.
a) Haga undiagrama de la situación.

SUELTO
PRESO EN LA CARCEL
PRESO EN LA DELEGACION DE POLICIA
0.6
0.2
0.8
0.2
0.4
0.2
0.6

b) Calcule la probabilidad de que un asaltante, inicialmente suelto, siga suelto (practicando asaltos) después de dos periodos.

LA PROBABILIDAD DE QUE EL ASALTANTE SIGA SUELTO LUEGO DE DOS PERIODOS ES DE 37.6%.

APLICACIÓN 4.- Se usa una máquina para producirherramientas de precisión. Si la máquina está hoy en buenas condiciones, entonces estará bien mañana con 90% de probabilidad. Si la máquina está en mal estado hoy, entonces estará en mal estado mañana con 80% de probabilidad. SI la máquina está en buen estado, produce 100 herramientas por día, y si está en mal estado, 60 herramientas por día. En promedio, ¿cuántas herramientas por día se producen?....
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