Aplicaciones de eciaciones lineales a la fisica

Objetivo General:
Observar el uso de las ecuaciones diferenciales aplicadas a diferentes temas y problemas Físicos.

Objetivos Específicos:
Demostrar el uso práctico de las ecuaciones diferenciales de primer orden y como afectan a la resolución de problemas aplicados a la física

Marco Teórico

Aquí vamos a hablar de los diferentes temas en donde encontraremos el uso en estos de lasecuaciones diferenciales de primer orden

Aplicadas al movimiento y la dinamica:

Caso 1: Caída Libre con Resistencia al Aire

Consideremos problemas de movimiento rectilíneo, con masa constante m y una fuerza resistiva. La segunda ley del movimiento de Newton se rige por una ecuación diferencial de la forma:



Si la fuerza no depende de la posición y; esta ecuación diferencial de segundoorden se puede reducir a una ecuación de primer orden trabajando con la velocidad v = dy/dt; así la ecuación diferencial se transforma en




Un ejemplo común en el que una fuerza aplicada depende de la velocidad pero no de la posición es la resistencia del aire. En general, si un objeto se mueve a través de un fluido (líquido o gas), el fluido ejerce una fuerza llamada resistencia sobre elcuerpo. Si el fluido tiene aproximadamente una densidad uniforme y la velocidad no es demasiado grande, entonces la resistencia puede aproximarse por la siguiente ley:
"La resistencia es proporcional a la magnitud de la velocidad y actúa en dirección opuesta a la de la velocidad".
Esta ley se llama de amortiguamiento lineal y establece que la fuerza de resistencia satisface:



Con k >= 0: Laconstante k; depende de la forma del cuerpo y de la naturaleza del medio en el que el objeto viaja. Las dimensiones son:

En la realidad, determinar la resistencia es bastante complicado. Una cantidad de esfuerzo significativo se dedica al diseño de automóviles y aviones para minimizar la resistencia del aire. En el pasado, una gran parte del proceso de diseño se basaba en túneles de vientoexperimentales, ahora se analizan en supercomputadoras, modelos matemáticos de dinámica de fluidos para procesos de flujo alrededor de objetos tridimensionales, disminuyendo los costos, aunque todavía se hacen pruebas en túneles de viento. Los experimentos muestran que a alta velocidad el amortiguamiento lineal no es valido, pero en algunos casos la fuerza resistiva es proporcional al cuadrado de lavelocidad.
Nos restringiremos al caso en que solo la gravedad y una fuerza lineal de resistencia actúan sobre una masa. En este caso, la ecuación diferencial de primer orden se convierte en:



La cual es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes y entrada constante -mg: El sistema de coordenadas se toma de forma tal que los valores positivos de y van hacia arriba.Ejemplo:
Considere una masa de 4 grs. que se deja caer de una altura de 6 mts. Suponga que la resistencia del aire actúa sobre la masa con una constante de proporcionalidad de 12 grs/seg. Determine la velocidad como una función del tiempo.
Solución: La ecuación diferencial es:






O equivalente




Para resolver esta ecuación que es lineal de primer orden podemos usar el factorintegrante e^(3)t. La solución general es:



Dejar caer un cuerpo significa que v(0) = 0; de donde c = 9.8/3 y así la solución es:




Observe que si
Este límite se conoce con el nombre de velocidad terminal. Esto es lo más rápido que un cuerpo viajara desde el reposo, si existe una fuerza resistiva lineal. Esta velocidad no depende de la condición inicial.
Con la gravedad y sinresistencia un objeto continúa acelerándose y su velocidad terminal se hace más y más grande. No existe límite sobre que tan rápido se mueve un objeto bajo la aceleración gravitacional sin resistencia del aire.
Si resolvemos la ecuación general de caída con resistencia



La solución es



Con resistencia del aire, un objeto tiene una velocidad terminal




Se puede observar que los...