Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales

Conceptos y propiedades
„

„

„

Aplicación lineal: aplicación (“relación”) entre dos
e.v. que “conservan” la linealidad.
u, v œ V e.v., l escalar:
f: V öW es aplicaciónlineal entre V y W si
f(v+lu)=f(v)+lf(u) œW
Ejemplo: f:R2öR, f(x,y)=x+3y

Conceptos y propiedades
„

Propiedades de f:VöW apl.lin.
‰
‰
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‰
‰

f(0V)=0W ;0V(W) elemento neutro de V (W)
f(-v)=-f(v)
f(a1v1+…+ an vn) = a1 f(v1) +…+ an f(vn)
Si v,uœV son lin.dep.ïf(v),f(u) también lo son
Si v,uœV son lin.indep.ïf(v),f(u) pueden no serlo

„

Inversa de una apl.lin. w=f(v): f(w)-1=v (es biyectiva:
i.e. tambiénes lineal)

„

Ej: f:RöR; f(x)=k

Conceptos y propiedades
„

Ej:

Conceptos y propiedades
„

Ej:

Conceptos y propiedades
„

Ej:

Imagen y núcleo
„

La imagen de una aplicación lineal f:VöW estáformada por el conjunto de vectores de W que
tienen algún original en V:
Im(f)=f[V]={wœW | w=f(v) para algún vœV}

„

Ej.

Imagen y núcleo
„

Núcleo de f es el subconjunto de los vectores de V
cuyaimagen es el elemento neutro de W:
Ker(f)={vœV| f(v) = 0 œW} = f-1(0)

„

f es inyectiva si Ker(f)={0V}

„

Ej.

„

El núcleo de f es un sube. v. de V.

Imagen y núcleo
„

Si f:VöW es una aplic.lin.ï
ïDim Im(f)+Dim Ker(f)=Dim V

„

Ej.

Ejemplos
„

f:RöR3, aplic: f(x)=(x,1,-x)
‰

Es aplic. lin.?

Ejemplos
„

f:RöR3, aplic: f(x)=(x,1,-x)
‰

Transforma el neutro de (R,+) en el neutro de (R3,+)?Ejemplos
„

f:R2öR3, aplic lin.: f(1,0)=(1,2,0); f(0,1)=(0,3,1)
‰

f(5,7)=(5,31,7)?

‰

f(1,1)=(1,0,1)?

Ejemplos
„

f:R2öR3, aplic lin.: f(1,0)=(1,2,0); f(0,1)=(0,3,1)
‰

Las imágenes de todos losvectores de R2 están en el
plano 2x1-x2+3x3=0?

Ejemplos
„

f(x1,x2,x3)=(x1,x2)
‰

es aplicación lineal?

Ejemplos
„

f(x1,x2,x3)=(x1,x2)
‰

{x,y} libreï{f(x),f(y)} libre?

Ejemplos
„f(x1,x2,x3)=(x1,x2)
‰

{f(x),f(y)} libre ï {x,y} libre?

Ejemplos
„

f(x1,x2,x3)=(x1,x2)
‰

Im f?

‰

Ker f?

Conceptos y propiedades
„

Si f:VöW es una aplicación lineal y B={e1,…,em} es base de V
ï La...