Aplicaciones De Geometría Analítica

ASIGNATURA:
GEOMETRIA ANALITICA I
GRUPO: GAN-1103-007

ALUMNO:
JUANA MARIA SALGADO CHACON
MATRICULA: AL10527908

FACILITADOR:
CRESENCIANO ECHAVARRIETA ALBITER

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE:

PROBLEMAS CLÁSICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIDAD 4

MARZO, 03 DE 2012

Aplicación de la geometría analítica

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas. Incluye tu procedimiento y unenunciado con la respuesta.

1. Cálculo de la distancia del Sol a Mercurio

Se denomina elongación de un planeta al ángulo que forma el planeta, la Tierra y el Sol, medido en el plano que contiene a estos tres cuerpos celestes y teniendo siempre a la Tierra como vértice del ángulo.

Los planetas de nuestro Sistema Solar se dividen en:

• Planetas inferiores, si su órbita es interna conrespecto a la de la Tierra.
• Planetas superiores, cuando la órbita es externa con respecto a la de la Tierra.

Cuando los planetas son inferiores su elongación tiene un valor máximo, que se alcanza cuando la línea
Tierra-Planeta es tangente a la órbita de ese planeta.

¿Cuál es la distancia del Sol a Mercurio, cuando este planeta se encuentra en el ángulo de máxima elongación y la Tierra estáen el punto más cercano al Sol?
Para responder, toma en cuenta las siguientes consideraciones:
a) Con los datos de la Tabla de cuerpos celestes, realiza la gráfica de las órbitas de Mercurio y la Tierra, considera al Sol como uno de los focos y sitúalo en el origen del sistema de coordenadas.
b) Para ambas órbitas, ubica el perihelio sobre el eje de las abscisas en el sentido negativo y elafelio en el sentido positivo.
c) Determina la posición de la Tierra.
d) Encuentra cuál es la posición de mercurio, cuando se encuentra en el ángulo de máxima elongación.
e) Determina cuál es la distancia del Sol a Mercurio, medida en U.A.
Para resolver este problema considera que la distancia Sol-Tierra es 150 millones de Km.

Para mayor comodidad en las operaciones, suponemos lasiguiente proporción: 150,000,000 km = 1
De la Tabla de cuerpos celestes obtenemos los siguientes datos:

PLANETA | e | a(dist. al sol) | c = e*a | b2 = a2 – c2 |
TIERRA | 0.027 | 1 =150,000,00 km | 0.027 | 0.999270 |
MERCURIO | 0.206 | 0.387 = 58,050,000 km | 0.079722 | 0.1434135 |

Haciendo las operaciones correspondientes, completamos la siguiente tabla:

DATOS: | TIERRA | MERCURIO|
CENTRO | C (–0.027, 0) | C (–0.079722, 0) |
FOCOS | F1 (0, 0)F2 (–0.054, 0) | F1 (0, 0)F2 (–0.159444, 0) |
VÉRTICES | V1 (0.973, 0)V2 (–1.027, 0) | V1 (0.307278, 0)V2 (–0.466722, 0) |
EXTREMOS DEL SEMIEJE MENOR | B1 (–0.027, 0.999635)B2 (–0.027, –0.999635) | B1 (–0.079722, 0.378699)B2 (–0.079722, –0.378699) |
ECUACIÓN | x+0.02721+y20.9992701=1 | x+0.07972220.149769+y20.143413=1 |´

Gráfica:

P2(x1, –y1)
P1(x1, y1)
P(x, y)
Tierra
Mercurio
Afelio
Perihelio

Tenemos 2 rectas tangentes a la elipse x+0.07972220.149769+y20.143413=1, trazadas desde el P(0.973, 0).

Usando la ecuación de la recta tangente encontramos el valore de x1:
Ecuación:
x1-hx-ha2+y1-ky-kb2=1

Datos: Siendo P(0.973, 0) un punto que pertenece a las 2 rectas de tangencia, podemos tomarlo comolos valores conocidos de x y y, siendo h = –0.079722, k = 0, a2 = 0.149769, b2 = 0.143413, x1 = ¿? y y1 = ¿?

Sustituyendo datos tenemos: x1=0.062546
Este valor lo sustituimos en la ecuación de la elipse y nos da: y1=0.35218
Con estos valores, determinamos la ecuación de la recta tangente: y=-0.386818x+0.376373
El valor del ángulo según la pendiente sería: 22.49o

La distancia delPM(0.062546, 0.35218)(posición de Mercurio cuando se encuentra en el ángulo de máxima elongación) al PS(0, 0) (posición del sol) la obtenemos con la fórmula de la distancia entre dos puntos, siendo uno de ellos el origen:
dM T=xm2+ym2
dM T=0.0625462+0.352182=0.003912+0.124031
dM T=0.127943=0.357691
La distancia del Sol a Mercurio en su máxima elongación es de aprox. 0.357691 U.A. ≈ 5,365,365...