aplicaciones de la integral

I.T.Telecomunicaciones

Curso 2000/2001

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Tema 5:

Aplicaciones de la integral

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden
tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.,
lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban losgriegos. En física, su empleo es constante, al
estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.
Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

1. Cálculo de áreas planas
Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.
Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integralpuede ser positiva, negativa o
nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno
de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.
Ejemplo 1 :
a) Hallar el área de la región limitada por la curva y = x 2 , el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4 .
b) Hallar el área de la regiónlimitada por la curva y = x 3 − 3x 2 − x + 3 y el eje OX en el intervalo
[1,3] .
c) Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX , en el intervalo [0,2π ] .
Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo el
área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos
elsiguiente resultado :
Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son funciones continuas en [a, b] y se verifica
que g( x ) ≤ f ( x ) ∀x ∈[a, b] , entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g , y las rectas
verticales x = a y x = b , es :
A=

∫ [ f ( x ) − g( x )] dx
b

s

a

Observaciones:
a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula delárea depende sólo de que f y g
sean continuas y de que g( x ) ≤ f ( x ) .
b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje OX .
c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que g( x ) ≤ f ( x ) y otras veces que f ( x ) ≤ g( x ) ,

entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a, b] , viene dado por la
fórmula:
A=

JavierMartínez del Castillo

∫

b
a

f ( x ) − g ( x ) dx

Tema 5



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En la práctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es más fácil dibujar las gráficas de f y g ,
calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área deseada.
Ejemplo 2:
a)Hallar el área de la región limitada por f ( x ) = x 2 y g( x ) = x .
b) Hallar el área de la región limitada por f ( x ) = x 2 y g( x ) = x 3 .
c) Hallar el área de la región limitada por f ( x ) = x 2 , g( x ) = − x + 2, y el eje OX .
d) Hallar el área de la región limitada por f ( x ) = x 2 + 2 , g( x ) = − x en [0,1] .
e) Hallar el área de la región limitada por f ( x ) = 3x 3 − x 2 − 10 xy g( x ) = 2x − x 2
Observación: Algunas veces es más conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vez
de la variable x .

Ejemplo 3: Hallar el área de la región limitada por la gráfica de y 2 = 3 − x e y = x − 1.

2. Cálculo de volúmenes
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral
definida. Otraaplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido
tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región
tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce
como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos...