Aplicaciones de la integral

14
C´lculo de ´reas
a
a
Temas

Capacidades

C´lculo de ´reas.
a
a

14.1

Calcular ´reas de regiones del plano.
a

Introducci´n
o
En esta sesi´n se inicia una revisi´n de
o
o
las principales aplicaciones de la integral
definida. La primera de ellas ser´ la aplia
caci´n natural: c´lculo de ´reas de regiones
o
a
a
del plano. Se estudian las diferentes situaciones asociadasa este problema.
Area bajo una curva

14.2

Caso 1: Area bajo una curva.

Dada una funci´n continua y = f (x) y no negativa en [a, b] (f (x)
o
la regi´n R del plano delimitada por:
o
• Arriba: Gr´fico de la funci´n y = f (x).
a
o
• Abajo: Eje X.
• Izquierda: La recta x = a.
97

0). El area A de
´

Sesi´n 14
o

C´lculo de ´reas
a
a

• Derecha: La recta x = b
vienedada, como ya se ha visto, por
b

A = Area(R) =

f (x)dx
a

La regi´n R, gr´ficamente se ve como:
o
a

Regi´n R cuya ´rea se desea calcular
o
a

Ejemplo 14.1. Calcular el ´rea bajo la curva y = xex y entre las rectas x = 1 y
a
x = 2.
Desarrollo:
La regi´n cuya ´rea se calcula, gr´ficamente es:
o
a
a

Regi´n R bajo la curva y = xex
o

Como la funci´n dada es positiva en elintervalo [1, 2], el ´rea A pedida viene dada
o
a
por:
2

xex dx

A=
1

98

(14.1)

Sesi´n 14
o

C´lculo de ´reas
a
a

Usando la Regla de Barrow, para calcular (14.1), en primer lugar se encuentra una
primitiva de xex . Usando integraci´n por partes se obtiene:
o
xex dx = ex (x − 1)

F (x) =
Luego,
2

xex dx = F (2) − F (1) = e2 ≈ 7.38906

A=
1

Respuesta: El areapedida es igual a, aproximadamente, 7.4(u. de long.)2 .
´
Ejercicio 14.1. Calcular el ´rea de la regi´n delimitada por el eje X y la curva
a
o
y=

ex

5
.
−1

entre las rectas x = 2 y x = 4.

14.3

Caso 2: Area sobre una curva.

Dada una funci´n continua y = f (x) y no positiva en [a, b] (f (x)
o
la regi´n R del plano delimitada por:
o
• Arriba: Eje X.
• Abajo: Gr´fico dela funci´n y = f (x).
a
o
• Izquierda: La recta x = a.
• Derecha: La recta x = b
viene dada por
b

A = Area(R) = −

f (x) dx
a

La regi´n R, gr´ficamente se ve como:
o
a

Regi´n R cuya ´rea se desea calcular
o
a

99

0). El area A de
´

Sesi´n 14
o

C´lculo de ´reas
a
a

Nota: Para verificar el Caso 2, se considera la funci´n y = −f (x) y a continuaci´n
o
o
seaplica en Caso 1.

Interpretaci´n geom´trica del area sobre una curva (cuando f
o
e
´

0).

Ejercicio 14.2. Calcular el ´rea de la regi´n delimitada por el eje X y la curva
a
o
y=

x2

5
+ 9x + 14

entre las rectas x = −5 y x = −3.

14.4

Caso 3: Areas entre dos curvas.

Dadas dos funciones continuas y = f (x) e y = g(x) con g(x)
A de la regi´n R del plano delimitada por:
o• Arriba: Gr´fico de la funci´n y = f (x).
a
o
• Abajo: Gr´fico de la funci´n y = g(x).
a
o
• Izquierda: La recta x = a.
• Derecha: La recta x = b
viene dada por
b

[f (x) − g(x)]dx

A = Area(R) =
a

La regi´n R, gr´ficamente se ve como:
o
a
100

f (x) en [a, b]. El area
´

Sesi´n 14
o

C´lculo de ´reas
a
a

Area entre dos curvas

Observaci´n: Para verificar laf´rmula del Caso 3, basta observar las siguientes
o
o
figuras:

Ilustraci´n f´rmula Caso 3
o o

Ejercicio 14.3. Verificar que la f´rmula precedente tambi´n es v´lida en cada una
o
e
a
de
las siguientes posiciones de los gr´ficos de f y g.
a

101

Sesi´n 14
o

C´lculo de ´reas
a
a

Nota 14.1. Para resolver un problema de ´reas del Caso 3, se sugiere seguir los
a
siguientespasos:

Paso 1: Realizar un esbozo de los gr´ficos de las funciones.
a
Paso 2: Determinar los puntos de intersecci´n de ambas curvas.
o
Paso 3: Plantear y resolver la integral definida que representa el area buscada.
´
Paso 4: Entregar la respuesta.

Ejemplo 14.2. La siguiente regi´n viene delimitada por dos curvas, C1 y C2 , que
o
corresponden, en alg´n orden, a las gr´ficas de las...