Aplicaciones De La Integral

MATEMÁTICAS II

APLICACIONES DE LA INTEGRAL


Áreas de Revolución
-Longitud de Arco
Se usan integrales definidas para encontrar las longitudes de arco de las curvas y las áreas desuperficies de revolución.
Definición de Longitud de Arco:
Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La longitud del arco de f entre a y b es
s= ab1+f´(x)² dx.Similarmente, para una curva suave dada por x=g(y), la longitud de arco de g entre c y d es
s=cd1+g´(y)²dy.
Ejemplo: Encontrar la longitud de arco del y=x36+12x en el intervalo 12,2, como se muestraen la figura.
Solución: Usando
dydx= 3x26+12x2= 12x2-1x2y=x36+12x se tiene una longitud de arco de
s=ab1+dydx²dx= 1221+12x2-1x22dx=12224 x4+2+1x4dx= 12x33-1x212= 12 136+4724=3316

-Área de una Superficie deRevolución
Definición de Superficie de Revolución:
Si la gráfica de una función continúa gira alrededor de una recta, la superficie resultante es una superficie de revolución.
Definición del Área de unaSuperficie de Revolución:
Sea y=f(x) con derivada continúa en el intervalo [a,b]. El área de S de la superficie de revolución formada al girar la gráfica de f alrededor de un eje horizontal o verticales
S=2πabrx1+[f´(x)]²dx
donde r(x) es la distancia entre la gráfica f y el eje de revolución. Si x=g(y) en el intervalo [c,d], entonces el área de la superficie es

S=2πcdry1+[g´(y)]²dy
donder(y) es la distancia entre la gráfica de g y el eje de revolución.
Ejemplo: Encontrar el área de la superficie formada al girar la gráfica de fx=x2 en el intervalo [0,2] alrededor del eje y, como...