Aplicaciones de la Integral

Universidad Nacional de Colombia
´ ticas
Departamento de Matema
˜ os
John Bolan
Tema: Aplicaciones de la Integral
1. Dibuje y encuentre el ´area de las regiones encerradas por las rectas y curvas dadas.
1.) y = x2 − 1 y 1 − x2

Rta: 8/3

2.) y = x2 , y = −x2 , x = −1 y x = 1
3.) x = y 2 y x − y − 6 = 0
√
4.) y = x3 y y = 3 x Rta: 1

Rta: 4/3

Rta: 125/6

5.) y = x + 6, y = x3 y 2y + x = 0

Rta:22

6.) y = x2 , y = x2 − 2x + 4 y x = 0
√
2
7.) y = x8 + 1 y y = x + 1 Rta: 8/3
8.) f (x) = −x3 + 13x + 12 y el eje x
9.) y = 1 − x4 y y = x3 − x

Rta: 8/5

10.) x = y 2 + 1 y x = 3 − y 2

Rta: 8/3

Rta: 4

Rta: 407/4

11.) x = y 2 − 2, x = ey , y = −1, y = 1

Rta: e + 10/3 − 1/e

12.) y = cos x, y = senx, x = 0 y x = 2π
13.) y =

1
,
x2
3

y = −x2 , y = x y x = 2

Rta: 11/3

14.) y = x − 3x − 2,y y = x2 − x − 2
3

15.) y = x , y y = 3x + 2

√
Rta: 4 2

Rta: 37/12

Rta: 27/4

16.) y = x3 , y = 3x + 2 y y = 1
2. Las curvas y = 1, y = x − 1, y =

Rta: 4/3
(x−1)2
,
4

generan tres regiones, hallar
( )
a) El ´area de la regi´on que contiene al punto 1, 21 . Rta: 11/6.
(
)
b) El ´area de la regi´on que contiene al punto 23 , 12 . Rta: 5/6.
c) El ´area de la regi´on que contiene al punto (4,3).

Rta: 11/6.

3. Encuentre los valores de a tales que el ´area de la regi´on encerradas por las par´abolas
y = x2 − a2 y y = a2 − x2 sea 576. Rta: ±6
∫b
∫b
4. Si b > 0 y si 0 x dx = 0 x2 dx hallar el ´area limitada por las curvas y = x2 , y = x,
y x = b, Rta: 1/6
√
5. Graficar las siguientes curvas y = |x| y 5y = x + 6, encuentre los tres puntos
donde se cortan estas dos curvas y halle el ´areaen entre las dos curvas. Rta: 5/3

6. Determine el volumen del solido que se obtiene al hacer girar la regi´on limitada por
las curvas dadas alrededor del eje que se especifica.
a) y = x3 , y = x, x ≥ 0, alrededor del eje x
b) x = y 2 , x = 2y, alrededor del eje y
√
c) y = x, y = x, alrededor de y = 1
√
d ) y = x, x = 3y 2 − 2 y x = 0 Rta: 1
e) La parte superior de la elipse

x2
a2

+

Rta: 4π/21Rta: 64π/15
Rta: π/6

y2
b2

= 1, alrededor del eje x

Rta: 4πab2 /3

7. Determine el volumen de solido generado al hacer girar la regi´on acotada por y =
x + 2 y y = x2 alrededor de :
a) La recta x = 2

Rta: 27π/2

b) La recta x = −1
c) El eje x

Rta: 27π/2

Rta: 72π/5

d ) La recta y = 4

Rta: 108π/5

8. Determine el volumen de solido generado al hacer girar la regi´on acotada por y =
3 + 2x −x2 , y = 0 y x = 0 alrededor de :
a) El eje x

Rta: 153π/5

b) El eje y

Rta: 45π/2

c) La recta y = −1
d ) La recta x = 4

Rta: 243π/5

Rta: 99π/2

9. Calcule la longitud de la curva dada.
a) y =

x3
12

+ x1 , entre x = 1 y x = 2.

Rta: 13/12

b) (y + 1)2 = (x − 4)3 , entre x = 5 y x = 8.
c) y = cosh x, entre x = − ln 2 y x = 0.
d) y =
e) x =

(x2 +2)3/2
3
y3
3

+

, entre x = 0 y x = 3.

1
,4y

entre y = 1 y y = 3.

√
√
Rta: (80 10 − 13 13)/27

Rta: 3/4

Rta: 12
Rta: 53/6

10. Hallar el centro de masa de una placa delgada con densidad constante que cubre la
regi´on dada.
a) y = x − x2 y y = −x

Rta: (1,-3/5)

b) x = y − y 3 , x = 0, y = 0, y = 1
c) y = 2x2 − 4x y y = 2x − x2

Rta: (16/105,8/15)

Rta: (1,-2/5)

d ) y = cos x, y = 0 entre −π/2 ≤ x ≤ π/2

Rta: (0, π/8)

11. Un depositotiene forma de cono invertido de 16 pies de radio y 8 pies de altura.
Si el deposito contiene agua hasta dos pies de altura, cual es el trabajo realizado
para bombear toda el agua un pie por encima de la parte superior del tanque (peso
especifico del agua 62.5 lb/pie3 ). Rta: π5000J
12. Para estirar un resorte de una longitud de 6m a una longitud de 7m se requiere un
trabajo de 60N y para estirarlode 7 a 8 metros se requiere un trabajo de 120N
Calcule la constante de fuerza del resorte y su longitud natural. Rta: k=60, L= 5.5 m
13. Una piscina tiene 20 pies de ancho y 40 pies de largo y su fondo es un plano inclinado,
en el extremo menos profundo tiene 3 pies y en el mas profundo 9 pies. Si est´a llena
de agua, encuentre la fuerza hidrost´atica sobre:
a) El extremo menos profundo.
b) El...