Aplicaciones De Las Derivadas Parciales

Introducción:
Las derivadas parciales tienen múltiples aplicaciones en muchas ramas de la ciencia; dentro de las aplicaciones matemáticas una de las más importantes es a máximos y mínimos. Como notodas las funciones de varias variables se pueden graficar solo se analizará si una función presenta extremos y/o puntos de ensilladura. Al igual que para funciones de una sola variable paradeterminar la presencia de extremos se deberá hallar primero los puntos críticos de la función (igualando la primera derivada a cero) para luego mediante criterios de derivadas determinar si existe máximo omínimo (criterio de la Segunda Derivada).
Para analizar funciones de varias variables se utilizaran los siguientes procesos:
• Análisis del Hessiano, si la función es de dos variables.
•Autovalores del Hessiano, si la función es de tres o más variables.
Para funciones sujetas a restricciones se analizará de la misma forma pero creando una nueva funciones mediante el uso de losmultiplicadores de Lagrange.
Definición 1:
Dada la función , los puntos donde todas las derivadas parciales de primer orden de la función son ceros o no existen se llaman puntos estacionarios o puntos críticosde la función.}
Puntos Críticos:
Para determinar los puntos críticos que presenta una función de varios variables se debe formar un sistema de ecuaciones igualando todas las primeras derivadas dela función a cero.
Sea una función de n variables, sus puntos críticos se determinarán resolviendo el siguiente sistema:

Nota:
La condición necesaria para que una función tenga extremo enun punto, donde sus derivadas parciales existen, es que este punto sea un punto estacionario o crítico, sin embargo esta condición no es suficiente puesto que un punto crítico que no es ni máximo nimínimo puede ser un punto de ensilladura llamado también punto de silla o de monitor.
Criterio de la Segunda Derivada:
Sea la función , una función de varias variables de tal manera que las...