Derivada parcial

Estudiemos ahora la diferenciabilidad para una función de dos variables.
Sea z = f(x, y) definida en un cierto entorno del punto P(a , b); si incrementamos la
abscisa en Δx , y la ordenada en Δy ,se obtiene el punto Q(a + Δx , b + Δy ), a la
diferencia entre el valor de la función en Q y el valor de la función en P le llamamos incremento de la función al pasar del punto P al Q, que puede serpositivo o
negativo y que representamos por Δz=f(a+Δx, b+Δy)-f(a, b) .
Se quiere establecer una relación entre los incrementos de las variables x, y en los
valores a y b, con el incremento de lafunción.
Si P y Q pertenecen al dominio de f, la función se dice diferenciable en P(a, b), si
LA FUNCION SE PUEDE ESCRIBIR DE LA FORMA :

Δz=MΔx+NΔy+ε1 (Δx, Δy)Δx+ε2 (Δx, Δy)Δy,
siendo M=fx y N=fy; ε1 y ε 2 , dos funciones de las variables Δx e Δy , cuando
( Δx , Δy )  (0, 0) , es decir se cumple

lim

(Δx,Δy)( 0 ,0 )

1 (x, y) 

lim

(Δx,Δy)( 0 ,0 )

 2 (x, y )  0Interpretación geometrica de la diferencial
y
y = f(x)

Q

f(a+ Dx)

N
a

P

f(a)

dy

M

Δ x

a

tg a = f´(a) =
Dy = MQ

MN 
PM

MN = f´(a)PM = f´(a)dx = dy

a+

Δxx

Diferenciabilidad
Ejemplo
Dada la función z = f(x, y) = x2-xy+y, y el punto (a, b), calculemos su incremento, para incrementos Δx e Δy de a y b:
Δz=f(a+Δx, b+Δy)-f(a, b) = (a+Δx)2-(a+Δx)(b+Δy)+b+Δy-a2 +ab-b =
= a2 +Δx2 +2aΔx-ab-aΔy-bΔx-ΔxΔy+b+Δy-a2 +ab-b 
= (-b+2a)Δx+(-a+1)Δy+ΔxΔx-ΔxΔy .

Como fx (x, y)=2x-y, fy (x, y)=-x+1  fx (a, b)=2a-b, fy (a, b)=-a+1 ,
luego Δz = fx (a,b)Δx+fy (a, b)Δy+ε1Δx+ε2 Δy , siendo ε1 =Δx , y ε 2 =-Δx ,
cumpliéndose que:

lim

(Δx,Δy)( 0 ,0 )

1 (x, y) 

lim

(Δx,Δy)( 0 ,0 )

 2 (x, y )  0.

Como consecuencia se cumplela definición de diferenciabilidad en el punto
(a, b), poniendo M = fx(a, b) y N = fy(a, b). Las relaciones obtenidas en el
ejemplo, para M y N, son ciertas en general, aunque el procedimiento...