Aplicaciones De Las Derviadas

INTRODUCCIÓN
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el
siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,
constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz,
de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo
XIX no se simplificaron. A ellocontribuyó la aparición de una buena notación,
que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de
aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en
h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia
entre f(a +h) y f(a)el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media
de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
[a, b] al cociente entre los incrementos de la
función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de
la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] =

Ejercicio 1. Calcular bpara que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el
intervalo [0,2] valga ln2.

2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería

.

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h
tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama laderivada de la función f en el punto a y se
designa por
, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el
límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a
0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también
puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de lafunción f(x) = -x2 +4x el punto de abscisa x
=1.

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’
(obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si
existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.
Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función

en x =0 son 1 y –1.

Luego la función valor absoluto no es derivable en el0.
Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.
El recíproco es falso.

Ejemplo 2.

es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Aplicación física de la derivada
Consideremos la función espacio E= E(t).
La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0,
t] es: vM(t)=
, que es lo que en Física llaman la velocidad media en
ese intervalo de tiempo,si calculamos el límite cuando t tiende a t 0, obtenemos
la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es ,
velocidad en el instante t =5.

Solución

, calcula la

v(t)=E’(t)= 2t -6

en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4

3. Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variaciónmedia de una función f en [a, a +h] es la pendiente de
la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante
pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta
tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente endicho punto se puede expresar
y - f(a) = f ´(a)(x-a)

.

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por
el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica
de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto
(1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por
ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4....