Aplicaciones de las distribuciones de probabilidad

APLICACIONES DE LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

A. ANTECEDENTES

A.1 MARCO TEORICO CONCEPTUAL

DISTRIBUCION BINOMIAL

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
* En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario AI fracaso).
* El resultado obtenido en cada prueba es independiente delos resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por  p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de AI es  1- p  y la representamos por  q.
* El experimento consta de un número  n  de pruebas.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable  X  queexpresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n;  suponiendo que se han realizado  n  pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener  k-éxitos  y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones(número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por  B(n,p)  siendo  n  y  p  los parámetros de dicha distribución.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA V.A. BINOMIAL
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose:  0 p  1.

Como el cálculo de estas probabilidades puederesultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.

PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad – un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si se reduce lo suficienteel área de oportunidad o el intervalo:
* La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es constante.
* La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0.
* La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza,etc, etc,:
Numero de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, año.
Numero de defectos de una tela por m2
Numero de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.
Numero de bacterias por cm2 de cultivo
Numero de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA V.A. POISSON

Para determinar la probabilidad deque ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
 

DONDE:
P(X) = probabilidad de X éxitos dado el valor de 
λ = esperanza del número de éxitos.
e = constante matemática, con valor aproximado 2.711828
X = número de éxitos por unidad

Hay que hacer notar que en esta distribución elnúmero de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
Media
Varianza

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

La distribución hipergeométrica esespecialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.
Modeliza, de hecho, situaciones en las que se repite un número determinado de veces una prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener en la...