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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Teniendo en cuenta primero el concepto de ecuaciones diferenciales como una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Se puede tener una definición clara sobre la aplicación de estas.
Las ecuaciones diferenciales, junto con su condición inicial, se puedenencontrar expresadas en forma explícita:
(1a)
O en su forma implícita:
(1b)
Las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden aplicar a la biología, economía, a flujo de calor en estado estacionario, y a la química que es la que más nos interesa.
OBJETIVOS
Ser capaz de comprender el papel que juegan las ecuaciones diferenciales para modelar una gran cantidad de fenómenos que se presentan en lanaturaleza.
Desarrollar habilidades para utilizar las técnicas y procedimientos de las ecuaciones diferenciales para la modelación y resolución de problemas.
Comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial.
Determinar los elementos que proporciona una ecuación desde el punto de vista químico.
Construir modelos sencillos de problemas específicos que se presentan en otras disciplinas através de ecuaciones diferenciales de primer orden, e interpretar las soluciones en el contexto del problema.
FUNDAMENTO TEORICO
PROBLEMA.1
Tratándose este problema de un material radiactivo se da el siguiente concepto.

Ley de la Desintegración Radiactiva.
«La rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva es
Proporcional a la cantidad de sustancia restante.»
LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVALos núcleos están formados por protones y neutrones que se mantienen unidos por la denominada fuerza fuerte. Algunos núcleos tienen una combinación de protones y neutrones que no conducen a una configuración estable, a estos núcleos se les denomina radiactivos. Los núcleos inestables tienden a aproximarse a la configuración estable emitiendo ciertas partículas. Los tipos de desintegraciónradiactiva se clasifican de acuerdo al tipo de partículas emitidas, la más común es la desintegración alfa, en la que se emite un núcleo de Helio (dos protones y dos neutrones), produciéndose un nuevo elemento cuyo número atómico es dos unidades menor (retrocede dos posiciones en la Tabla Periódica), y cuya masa disminuye en cuatro unidades.
La ley de desintegración radioactiva
Supongamos que unasustancia tiene N núcleos radiactivos sin desintegrar en el instante inicial, la solución de una ecuación diferencial de primer grado nos da el número de núcleos que permanecen sin desintegrar en el instante t.
dN=−(λ⋅dt)N  N=N0exp(−λt)
Podemos interpretar la ecuación diferencial del siguiente modo: si λ es la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, la probabilidad de que un núcleo sedesintegre en un tiempo dt es λdt. Si hay N núcleos radiactivos (N es grande), en el tiempo dt podemos esperar que se desintegren (λdt) N núcleos. Por tanto, el número de núcleos radiactivos disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración.
El modelo de desintegración es muy simple: sea λ la constante de desintegración menor que la unidad, se compara λ con un número aleatorio γ uniformementedistribuido en el intervalo [0, 1). Si λ es menor que γ entonces el núcleo se desintegra.
Los problemas a resolver generalmente están basados en la química inorgánica, pues los resultados finales se deducen del procedimiento de alguno de los métodos.
La ley de desintegración puede deducirse del siguiente modo: si  es la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, la probabilidad de queun núcleo se desintegre en un tiempo dt es·dt. Si hay N núcleos presentes, en el tiempo dt podemos esperar que se desintegren ( dt)N núcleos, Por tanto, podemos escribir

El signo menos aparece por que N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente.

N0 es el número inicial de núcleos radioactivos presentes en...