Aplicaciones De Las Integrales

Introducción
En este trabajo se verá el tema “Otras aplicaciones” que se refiere a distintas aplicaciones de la integral ya que no solo se aplica en la ingeniería sino también en la física, los subtemas incluidos en este pequeño reporte serán útiles para utilizarlos en otras índoles.

El valor promedio de una función, el área de una superficie de revolución y la importancia que tienen lasintegrales en física e ingeniería, serán los subtemas que se trataran en este reporte.


Valor promedio
El teorema del valor medio para integrales es una consecuencia del teorema del valor medio para las derivadas y el teorema fundamental del cálculo.

En general para calcular el valor promedio de una función y=f(x), a≤x≤b, se empieza por dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales,cada uno de ellos de longitud Δx = (b – a)/n. Luego se escogen los puntos x1*,…,xn* en subintervalos sucesivos y se calcula el promedio de los números f(x1*),…,f(xn*):
fx1+…+f(xn)n
(Por ejemplo, si f representa una función de temperatura y n=24, esto quiere decir que tome lecturas de la temperatura cada hora y luego los promedie.) Puesto que Δx = (b – a)/n, se puede escribir n = (b – a)/ Δx yel promedio de los valores será:

fx1+…+f(xn)b-a∆x = 1b-a[fx1∆x+…+fxn∆x]= 1b-ai=1nf(x1)∆x

Si dejamos que n se incremente, calcularíamos el valor promedio de un gran número de valores muy poco separados. (Por ejemplo, promediaríamos las lecturas de temperatura tomadas cada minuto o hasta cada segundo. El valor límite es:
limn→∞1b-a i=1nfxi∆x= 1b-aabfxdx
Por la definición de una integraldefinida.
Por lo tanto, definiremos el valor promedio de f en el intervalo [a, b] como
fprom= 1b-a abfxdx

Interpretación Geométrica del Teorema del Valor Medio

La interpretación geométrica del teorema del valor medio para integrales es que, para funciones positivas f, hay un número c tal que el rectángulo con base [a, b] y altura f(c) tiene la misma área que la región bajo la gráfica de fdesde a hasta b.
Teorema del valor medio para integrales. Si f es continua en [a, b], entonces existe un numero c en [a, b] tal que
fc=fprom= 1b-aabfxdx
Es decir:
abfxdx=f(c)(b-a)

Teorema del valor medio para integrales. Si f es continua en [a, b], entonces existe un numero c en [a, b] tal que
fc=fprom= 1b-aabfxdx
Es decir:
abfxdx=f(c)(b-a)

Ejemplo: Determine el valor promedio de lafunción f(x) = 1 + x2 en el intervalo [-1, 2].
fprom= 1b-a abfxdx= 12-(-1)-121+x2dx= 13x+x33-12=2

Área de una Superficie de Revolución
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.
En general si la curva está definida porlas funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a, b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral

Siendo x(t) siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

Se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuaciónde la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.
Si la curva está definida por la función y = f(x), la integral se transforma en

Para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y

Para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.
Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario,está generada por la curva x(t) = sen(t) y y(t) = cos(t) cuando t toma valores en el intervalo [0,π]. Su área, por tanto, será

Aplicaciones a la Física y a la Ingeniería
Entre las muchas aplicaciones del cálculo integral a la física y a la ingeniería, se consideran dos aquí: La fuerza debida a la presión del agua y los centros de masa.
Fuerza y Presión Hidrostática
Los buceadores de aguas...