aplicaciones de matrices

 Aplicación de matrices y determinantes.
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.
Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tablasiguiente:




Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:



Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).
Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si observamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:


Estasmatrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0.
Estas matrices se utilizan cuandoqueremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:
Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par depuntos.
Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha.
Estos tipos de grafo pueden verse en la figura: 




Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:
un 1 en el lugar (i,j)expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una linea que los una directamente.
un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una linea que los una directamente.
La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será:

Fracciones parciales
Una técnica muy conveniente utilizada enalgunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.
Ejemplo: Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan

Solución

Ejemplo: (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:Solución

Determinación de curvas.
Un problema común en diferentes ´áreas es la determinación de curvas. Es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas esdescribir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. 
Ejemplo:
 Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q (−1, 2) y R (2, 3). 
Solución
La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c sonconstantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. 

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, 
Es decir, se debe...