Aplicaciones del Algebra Lineal en la Ingeniería Aeroespacial

Universidad Autónoma de Chihuahua.

Facultad de Ingeniería.





"Aplicaciones del Algebra Lineal
en la Ingeniería"










INTRODUCCIÓN
El Álgebra Lineal es una disciplina cuya enseñanza y aprendizaje no es sencilla. Es de contenidos en general abstractos y de difícil comprensión por parte de los alumnos en todas las disciplinas de la enseñanza: Ciencias e Ingeniería.Las aplicaciones del Álgebra Lineal a las Ciencias y a la Ingeniería son vastas y amplias. En distintas ramas de la Ingeniería estas aplicaciones aparecen naturalmente de dos formas:

- Se utilizan para diagonalizar un tensor de segundo orden de magnitudes vectoriales físicas, todas con las mismas dimensiones. En estos casos los autovectores y los autovalores asociados tienensignificados físicos concretos: son direcciones principales del tensor con magnitudes iguales o proporcionales a los autovalores correspondientes.

-Un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas puede escribirse en forma matricial, con las incógnitas conformando un vector cuyas componentes no necesariamente tienen las mismas dimensiones. Los autovalores de la matriz del sistema pueden brindarinformación sobre la estabilidad o inestabilidad del mismo, sobre las frecuencias naturales del sistema dinámico y sobre sus posibles modos de oscilación. El dominio conceptual y práctico de las herramientas del Algebra Lineal por parte del alumno de las carreras de Ingeniería, en particular Aeroespacial/Aeronáutica, es indispensable para su correcta aplicación en la resolución de problemas de todotipo.

El Ingeniero Aeroespacial se caracteriza por los desafíos que debe enfrentar en un área donde la optimización es crítica y fundamental en relaciones como peso/potencia, peso/resistencia, costo y carga útil. Mientras que en otras ramas de la ingeniería las incertidumbres tolerables pueden ser mayores , usando factores de seguridad elevados y aumentando con ello el costo en el diseño de unsistema, las restricciones de pesos y costos implícitas en Aeroespacial , sumadas a las altas exigencias en materia de seguridad, demandan del ingeniero un profundo conocimiento teórico de las variables involucradas en cada problema y en las metodologías de solución disponibles. La enseñanza y aprendizaje del Álgebra Lineal no es sencilla. Ha cambiado en los últimos años, principalmente por lasproblemáticas encontradas en los alumnos debido a las dificultades conceptuales y al tipo de pensamiento abstracto requerido para la compresión de los temas.








Algunas aplicaciones Del Algebra Lineal en la Ingeniería Aeroespacial

Tensiones en sólidos o fluidos
Cuando sobre un cuerpo en equilibrio actúan fuerzas exteriores, cada elemento material del mismo está sometido a fuerzasinteriores ejercidas por los elementos adyacentes. Estas fuerzas interiores se transmiten a través de la superficie de contacto entre los elementos; la fuerza por unidad de área se denomina tracción. El vector tracción que un elemento dado ejerce sobre otro adyacente es función de la orientación espacial de la superficie de contacto. Puede demostrarse que dicha dependencia es lineal, es decir, queel vector tracción está dado por , donde es el vector normal a la superficie y σ es el “tensor de tensiones”. Este tensor constituye una transformación lineal que actúa sobre el vector normal a la superficie y devuelve el vector tracción correspondiente [Figura 1].

FIGURA 1
VECTOR TRACCIÓN EN UN ELEMENTO MATERIAL
Los autovectores del tensor de tensiones constituyen las direccionesprincipales, en las que las tensiones actuantes sobre un elemento cúbico son normales a sus caras. La magnitud de esas tensiones está dada por los autovalores del tensor, que siempre son reales, siendo esfuerzos de tracción, si estos son positivos, y de compresión si son negativos. Como las tensiones internas son las que producen la rotura del material, es fundamental conocer su distribución y sus valores...