Aplicaciones Matemáticas.

Aplicaciones matemáticas

INTRODUCCIÓN
Ecuación de Onda.

Se considera una cuerda de longitud “L” fija en los dos puntos en el eje x


x=0
x=Lx

L
0

Figura 1. Cuerda flexible anclada en x=0 y x=L.

Cuando la cuerda comienza a vibrar…
u

u(x,t)
Δs
x
x+Δx
x
0
Para t > 0



Figura 2. Cuerda flexible donde u(x,t) es el desplazamiento vertical decualquier punto
sobre la cuerda medido desde el eje x.

Se supone lo siguiente:
* La cuerda es perfectamente flexible.
* La cuerda es homogénea.
* Los desplazamientos u son pequeños en comparación con la longitud de la cuerda.
* La pendiente de la curva es pequeña en todos los puntos.
* La tensión actúa tangente a la cuerda, y su magnitud es la misma en todos lospuntos.
* La tensión es grande comparada con la fuerza de gravedad.
* Ninguna otra fuerza externa actúa sobre la cuerda.

El desplazamiento vertical u(x,t) de la cuerda vibrante de longitud L mostrada en la figura 2 se determina de

a2∂2u∂x2=∂u∂t , 0<x<L, t>0

u0,t=0, uL,t=0, t>0

ux,0=fx, ∂u∂tt=0=gx, 0<x<L

Ecuación de calor.

u=0
u=00
x
L


Figura 3. Temperaturas en una varilla de longitud L.

Se considera una varilla circular delgada de longitud L con una temperatura inicial f(x) en toda su longitud y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero durante todo el tiempo t>0. Tiene un área transversal A y coincide con el eje x en el intervalo [0,L].
Área de sección transversal A
0
L

0
x

Lx+Δx
x


Figura 4.Flujo de calor unidimensional.



Se supone lo siguiente:
* El flujo de calor dentro de la varilla toma lugar sólo en la dirección x.
* La superficie lateral, o curva, de la varilla está aislada.
* No se genera calor dentro de la varilla.
* La varilla es homogénea.
* El calor específico γ y la conductividad térmica kdel material de la varilla son constantes.


La ecuación de calor se presenta en la teoría del flujo de calor, es decir, calor transferido por conducción en una varilla o en un alambre delgado.
k∂2u∂x2+∂u∂y , 0<x<L , t>0

u0,t=0 , uL,t=0, t>0

ux,0=fx, 0<x<L.
La función u(t,x) representa la temperatura en un punto x a lo largo de la varilla en algúninstante t.

También hay que recordar…
EDO de segundo orden (lineal y homogénea) | X''+λ2=0 | X''-λ2=0 |
Solución | Xx=Acos(λx)+Bsen(λx) | Xx=Aeλx+Be-λx |

PROBLEMAS

1.- Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema.
a2∂2u∂x2=∂2u∂t2 , 0<x<L, t>0

∂u∂xx=0 =0 , ∂u∂xx=L=0

ux,0=x, ∂u∂tt=0=0

Este problema podría describir eldesplazamiento longitudinal ux,t de una barra elástica vibratoria, las condiciones en la frontera, para x=0 y x=L, se llaman condiciones del extremo libre.
Se propone una solución como el producto de dos variables X y T
ux,t=XxTt
Sustituimos en la ecuación:
a2∂2XT∂x2=∂2XT∂t2
a2TX''=XT''
Separamos variables:
X''X =1a2 T''T
Nota: lo anterior solo puede ser posible si ambas son iguales a unaconstante c (esta constante de separación puede ser cualquier número real, sea cero, un número negativo o uno positivo).

De esta manera tenemos lo siguiente:
X''X =c
1a2 T''T=c

Y tendremos tres casos:
Caso I: c = 0
* Primero obtenemos X(x) con la siguiente ecuación:
X''X =0
Integrando Xx=a1x+a2
* Obtenemos T(t) con la siguiente ecuación:
1a2 T''T=0
IntegrandoTt=a3t+a4

* Tenemos las siguientes condiciones a la frontera y condiciones iniciales:
∂u(0,t)∂x=0⟶∂u(0,t)∂x=dX0dxTt=0
*Como Ttno puede ser cero para toda t
dX0dx=0
De la misma manera tenemos:

dXLdx=0
dT0dx=0

Aplicando condiciones a la frontera a Xx=a1x+a2
Derivamos dXdx=a1→dX0dx=a1=0
Por lo tanto: a1=0 y Xx=a2

Aplicando condiciones iniciales a Tt=a3t+a4
Derivamos...