Aplicaciones Reales Laplace

Aplicaciones reales de la
transformada de Laplace
Ing. Elvira Niño
Departamento de Mecatrónica y Automatización

enino@itesm.mx

Control de Procesos
• ¿Qué es un sistema de control ?
– En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que
necesitan cumplirse.

• En el ámbito doméstico
– Controlar la temperatura y humedad de casas y
edificios

• En transportación
– Controlar que un auto o aviónse muevan de un lugar a
otro en forma segura y exacta

• En la industria
– Controlar un sinnúmero de variables en los procesos
de manufactura

Control de Procesos
• En años recientes, los sistemas de control han
asumido un papel cada vez más importante en el
desarrollo y avance de la civilización moderna y
la tecnología.
• Los sistemas de control se encuentran en gran
cantidad en todos lossectores de la industria:
– tales como control de calidad de los productos
manufacturados, líneas de ensa,ble automático,
control de máquinas-herramienta, tecnología espacial
y sistemas de armas, control por computadora,
sistemas de transporte, sistemas de potencia,
robótica y muchos otros

Ejemplos de procesos
automatizados
• Un moderno avión comercial

Ejemplos de procesos
automatizados
• SatélitesEjemplos de procesos
automatizados
• Control de la concentración de un producto
en un reactor químico

Ejemplos de procesos
automatizados
• Control en automóvil

¿ Por que es necesario controlar un
proceso ?
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Incremento de la productividad
Alto costo de mano de obra
Seguridad
Alto costo de materiales
Mejorar la calidad
Reducción de tiempo de manufactura
Reducción deinventario en proceso
Certificación (mercados internacionales)
Protección del medio ambiente
(desarrollo sustentable)

Control de Procesos
• El campo de aplicación de los sistemas de
control es muy amplia.
• Y una herramienta que se utiliza en el
diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

¿Por qué Transformada de
Laplace?
• En el estudio de los procesos es necesarioconsiderar modelos dinámicos, es decir,
modelos de comportamiento variable
respecto al tiempo.
• Esto trae como consecuencia el uso de
ecuaciones diferenciales respecto al
tiempo para representar matemáticamente
el comportamiento de un proceso.

¿Por qué Transformada de
Laplace?
• El comportamiento dinámico de los procesos
en la naturaleza puede representarse de
manera aproximada por el siguiente modelogeneral de comportamiento dinámico lineal:

• La transformada de Laplace es una
herramienta matemática muy útil para el
análisis de sistemas dinámicos lineales.

¿Por qué Transformada de
Laplace?
• De hecho, la transformada de Laplace
permite resolver ecuaciones diferenciales
lineales mediante la transformación en
ecuaciones algebraicas con lo cual se
facilita su estudio.
• Una vez que se haestudiado el
comportamiento de los sistemas
dinámicos, se puede proceder a diseñar y
analizar los sistemas de control de manera
simple.

El proceso de diseño del sistema
de control
• Para poder diseñar un sistema de control
automático, se requiere
– Conocer el proceso que se desea controlar,
es decir, conocer la ecuación diferencial que
describe su comportamiento, utilizando las
leyes físicas,químicas y/o eléctricas.
– A esta ecuación diferencial se le llama
modelo del proceso.
– Una vez que se tiene el modelo, se puede
diseñar el controlador.

Conociendo el proceso …
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
f(t)
m
k

Fuerza de
entrada

z(t)
Desplazamiento,
salida del sistema

b

 F ma
dz (t )
d 2 z (t )
f (t )  kz (t )  b
m
dt
dt 2

El rol de la transformada de
LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil
dz (t )
d 2 z (t )
f (t )  kz (t )  b
m
dt
dt 2
Aplicando la transformada de Laplace a cada término
(considerando condiciones iniciales igual a cero)
F ( s )  kZ ( s )  bsZ ( s ) ms 2 Z ( s )



F ( s ) Z ( s ) ms 2  bs  k
Z ( s)
1

F ( s ) ms 2  bs  k



Función de
transferencia

Conociendo el proceso…
•...