Aplicaciones

DERIVADAS APLICADAS
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada se representa cómo una función que cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, laderivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangentea la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciaciónes el proceso inverso de la integración en funciones continuas

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

Estudio de la variación de funciones
Además de la utilización de la derivada para el cálculo de ciertos límites, (Regla de L' Hôpital), esposible, por medio de ella, obtener información sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla gráficamente.
Subsecciones:
* Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada
* Valor máximo y valor mínimo de una función
* Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos
de unafunción. 

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada
Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo .
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

|
 
En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1. Creciente en los intervalos ,
2. Decreciente en los intervalos ,
También se tieneque cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos , y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.
Teorema 1 |
Sea f una función continua en un intervalocerrado y derivable en el intervalo   abierto. 1. Si para toda x en , entonces la función f es creciente en . 2. Si para toda x en , entonces la función f es decreciente en .
Demostración: Al final del capítulo. |
Ejemplos:
1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación .

Para ello calculemos la primera derivada de .

Como , o sea si , entonces fes creciente para .

Como , o sea si , entonces f es decreciente para .

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
 
  |
 
2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación con .

La derivada de f está dada por que puede escribirse como

Como es positivo para toda x en entonces:

             y

Pararesolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
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3. Luego: si por lo que la función f crece en el intervalo .

Además: si de donde la función f decrece en el intervalo .

La representación gráfica de la función es la siguiente:
4.  
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5.
6. Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación , con .

La derivada de f es ....