Aplicaciones

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE SANTO DOMINGO

Área de Ciencias Básicas y Ambientales

Proyecto de de ecuaciones diferenciales
Aplicaciones en ingeniería

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Profesor: Rafael González

Realizado por:

Jairon Francisco 07.0034
Estudiante de Ingeniería Mecánica

Proyecto de Ecuaciones Diferenciales
Aplicación a problemas de ingeniería
Por: JaironFrancisco 2007-0034 Estudiante de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico de Santo Domingo I. Mecánica de Fluidos

Suponga que el agua sale de un depósito por un orificio circular de área Ak en su fondo. Cuando el agua sale por el orificio, la fricción y la contracción de la corriente cerca del orificio reducen el volumen de agua que sale del depósito por segundo a cAk 2 gh , donde c(0  c  1) es unaconstante empírica. Determine la ecuación diferencial para la altura h del agua en el instante t para el depósito que se muestra a continuación. El radio del orificio es de 2 pulg y g  32

Solución: El volumen del agua en el tanque en el instante t es

V  Awh

Con esa ecuación podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en elrecipiente:

cA dh 1 dV 1   cA0 2 gh   0 2 gh dt Aw dt Aw Aw
Hemos conseguido una ecuación diferencial en base a los parámetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuación





  2 Usando: A0    ,   36  12 
2

Aw  102  100, g  32

sustituyendo estosvalores para las condiciones

establecidas:

dh c / 36 c  64h   h dt 100 450
Comportamiento de la ED para C=1

II. Circuitos Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor que se muestra en la figura de al lado. Determine una ecuación diferencial para la carga q(t) en el capacitor, si la resistencia es R, la capacitancia C y el voltaje impreso es E(t). Solución: Sabemosque la capacitancia sobre un circuito en serie se calcula como el inverso de la suma de los inversos. Y la resistencia como una simple suma algebraica. Así el resultado en voltaje de este circuito esta determinado por la Segunda Ley de Kirchoffs

R

dq 1  q  E (t ) dt C

III. Gravitación Universal Según la ley de la gravitación universal de Newton la aceleración a de caída libre de uncuerpo, como el satélite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante g. Además, la aceleración a es inversamente proporcional la

r , donde k es la constante de cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra, proporcionalidad. Utilice el hecho de que en al superficie de la Tierra r=R y a=g, para determinar k. Si ladirección positiva es hacia arriba, utilice la segunda ley para deducir la ecuación diferencial para la distancia r.
Satélite de masa m Solución: Lo primero a conocer aquí, es a que es igual la fuerza gravitacional en m:

ak

2

r
superficie

F  kM r m / r 2
Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como:

R

M t  r 3 M / R3
Tierra de masa M Sustituyendo y reduciendo en la ecuaciónde la fuerza gravitacional:

F  k

Mrm r 3 Mm / R3 mM  k  k 3 r 2 2 r r R

La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa: Según la segunda ley de Newton tenemos que, lafuerza es el producto de la masa y la aceleración, donde esta ultima también puede expresarse como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto del tiempo:

F  ma d 2r F m 2 dt 2 d r mM m 2   k 3 r Eliminando la masa de ambos lados de la ecuación. dt R 2 d r kM  3 r 2 dt R
IV. Modelo de crecimiento poblacional. Cierto ingeniero...
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