Aplicación Derivada

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS


GUÍA N° 10 CÁLCULO I


Profesor: Carlos Ruz Leiva
APLICACIONES DE LA DERIVADAS

Problemas sobre la tangente.

Ejemplos:

1. Hallar una ecuación para la recta tangente, en el punto [pic].
a) [pic], [pic]. b) [pic], [pic].
c) [pic], [pic]. d) [pic], [pic].Solución:
a) La derivada de la función [pic], es [pic].
La pendiente de la recta tangente, en el punto en el que [pic], y [pic], es [pic].
Sea [pic], la ecuación de la recta.
Cálculo de [pic]:
Como [pic] es un punto de la recta tangente, debe satisfacer la ecuación de la recta. Es decir, reemplazando [pic] en [pic], [pic] , obtenemos [pic]. Luego, la ecuación de la tangente es [pic].Esta se muestra en la figura.

[pic]


2. Hallar los puntos (si los hubiese) en los que la tangente es paralela a la recta [pic].

a) [pic]. b) [pic]. c) [pic].

Solución:
a) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de [pic], en un punto [pic], es [pic]. Como la pendiente de la recta [pic] es [pic] y esta es paralela a la recta tangente a la gráfica de [pic],debe cumplirse que [pic]. De aquí se deduce que [pic].
3. Hallar los puntos (si los hubiese) en los que la tangente a
a) [pic] es paralela a la recta [pic].
b) [pic] es perpendicular a la recta [pic].
c) [pic] es paralela a la recta [pic].
d) [pic] es perpendicular a la recta [pic].
4. Hallar los puntos (si los hubiese) sobre la curva [pic] en los que lainclinación de la tangente es a) 45°. b) 60°. c) 30°.
Solución:
La pendiente de la recta tangente es [pic]. Esto ocurre, cuando [pic].
5. Hallar una ecuación de la recta que es tangente a la curva [pic] y pasa por
el punto [pic].
6. Hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de [pic] en el punto (b, a), suponiendo que la pendiente de la gráfica de [pic] en(a, b) es [pic] .
7. En economía se estudian las rectas del mismo costo y las curvas de indiferencia. ¿Para qué valor de [pic] es la recta del mismo costo
[pic] [pic]
tangente a la curva de indiferencia
[pic] ?
Hallar el punto de tangencia (llamado punto de equilibrio).
Solución:
Sea [pic] el punto de tangencia.
Como [pic] pertenece a la recta[pic] y a la curva [pic], debe satisfacer las ecuaciones [pic] y [pic]. Además, las pendientes en ese punto son iguales. Es decir, [pic] y [pic], son iguales. De estas ecuaciones se obtienen, [pic]=[pic], el punto de equilibrio y [pic].


8. Determinar los coeficientes [pic] de manera que la curva [pic] pase por el punto (1, 3) y sea tangente a la recta [pic] en el punto ( 2, 0).
9. Determinarlos coeficientes [pic] de manera que la curva [pic] sea tangente a la recta [pic] en el punto (1, 0) y tangente a la recta [pic] en el punto (2, 9).
Solución:
La pendiente de la tangente a la curva [pic] en cualquier punto es [pic]. Para que la recta [pic], sea tangente a la curva, debe cumplirse, en el punto (1,0) que [pic] y que la curva pase por el punto (1,0), es decir, [pic].Análogamente, en el punto (2,9) debe cumplirse que [pic] y [pic]. De las cuatro ecuaciones que aparecen, se obtienen los valores de [pic], que satisfacen los requerimientos del problema.
10. Sea [pic] (P = precio, Q = producción) la función oferta de la figura. Comparar los ángulos [pic] y [pic] en los puntos donde la elasticidad

[pic]

a) es 1. b) es menor que 1. c) es mayorque 1.

[pic]



Coeficiente de variación
Ejemplos:
1. Hallar el coeficiente de variación del área de un cuadrado al variar la longitud [pic] de uno de sus lados. Particularizar al caso que [pic].
Solución:
El área de un cuadrado es:
[pic].
El coeficiente de variación del área del
cuadrado al variar [pic], es [pic]. Es decir,
[pic]. En el caso que [pic],...