Aporias de Zenon

La dicotomía.- El movimiento es imposible porque un móvil entre dos puntos cualesquiera A y B tendría siempre que cubrir la mitad de la distancia (C) antes de llegar al final. Pero antes de cubrir la mitad de la distancia (C), tendría que cubrir la mitad de la mitad, y así ad infinitum. De este modo para recorrer completamente cualquier distancia tendría que cubrir un número infinito de puntos,lo cual es imposible en un tiempo finito.
Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberárecorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.
Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntosrecorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol. Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para demostrar que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.
Por eso, la paradoja de la piedra también puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las seriesinfinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.
La flecha voladora.- Las dos aporías anteriores partían del supuesto de que una dimensión espacial no podía reducirse a unidades mínimas, sino que erainfinitamente divisible. Ahora bien, el que abordamos ahora sólo tiene sentido partiendo de la premisa de que el tiempo se compone de instantes mínimos indivisibles. El texto que presenta Aristóteles es oscuro en el detalle pero es posible recomponerlo con las exposiciones más completas de los comentaristas griegos.
Zenón parece haber argumentado que, si bien una flecha podía dar la impresión de quese alejaba volando, está realmente inmóvil, porque todo lo que ocupa un espacio igual a sí mismo tiene que estar en reposo en ese espacio, y, en cualquier instante dado de su vuelo, una flecha sólo puede ocupar un espacio igual a sí mismo. Consecuentemente, estará inmóvil en cada instante de su vuelo.
Aquiles y la tortuga
Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de losaqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sindesanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.
Aunque parezca lógico, es una paradoja porque la situación planteada contradice cualquier experiencia cotidiana: todo el mundo sabe que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le déventaja.


Si supusiéramos (para simplificar) que Aquiles es solo diez veces más veloz que la tortuga y que la ventaja otorgada a esta última es de 10 metros, entonces, según argumenta Zenón, cuando Aquiles haya recorrido estos primeros 10 metros iniciales la tortuga ya estará más lejos (estará un metro más allá, es decir habrá recorrido 11 metros) y cuando Aquiles haya recorrido este nuevo metro...