Aproxiamcion entre las señales de tiempo continuo y discreto

APROXIAMCION ENTRE LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
Como ya se ha dicho en la Introducción, el control de procesos por computadoras o procesadores digitales hace necesario la conversión de la información analógica a digital (A/D) y viceversa (D/A).

La ventaja fundamental de la variable discreta, es que permite el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadorasdigitales.
La Conversión A/D significa captar registros a intervalos discretos regulares de señales continuas en el tiempo (eléctricas o de otra índole representable por números reales). Dichos valores discretos llamados muestras conforman una sucesión de números enteros.

A partir de una función f(t) de variable continua (real), las muestras de la función, tomados a intervalos regulares detiempo T empezando de t = 0 se forma la sucesión : f[0], f[T], f[2T], f[3T], ..., f[nT], ...

Por otro lado a partir de la sucesión f[nT] se puede la construir una función de variable continua escalonada tomando el valor f[nT] como constante en cada intervalo de tiempo amplitud T: t∈ [ nT (n+1)T[ . Esta función escalonada es la aproximación de la señal de entrada f(t) .
Desde el punto de vistamatemático la función escalonada fe(t) de variable continua puede representarse como: fe(t) := Σ f[nT] pulso[nt] = Σ f[nT] [u[nT] – u[(n+1)T]
La relación entre las funciones de variable continua, f(t) y fe(t) permite establecer métodos aproximados de resolución para variable continua con variable discreta y viceversa. Son ejemplo de ello:
Variable real (continua) Variable discreta (enteros yfraccionarios)
Sistemas analógicos Sistemas digitales
Transformada de Laplace Transformada Zeta
Derivadas Diferencias finitas
Ecuaciones diferenciales lineales Ecuaciones en diferencias finitas lineales
Integrales Sumas

ERRORES DE LA APROXIMACION.
La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error en la señal de entrada:
1. Error por pasaje defunción continua (números reales) a función escalonada (sucesión o función discreta de números enteros o fraccionarios)
Esto aproximación puede llevar a errores por exceso o por defecto de la entrada. La cota del error de aproximación depende esencialmente del período T de muestreo.
2.- Error de conversión de un Código de número entero a Código Binario
Un segundo error se introduce cuando los valoresdiscretos (enteros o fraccionarios) se representan en código binario. Este error depende de la cantidad de bits que se tomen para representar los números enteros en el procesamiento digital. Ejemplo de ello se ha especificado en la Tipificación de Sistemas y Señales.
RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La aproximación entre la función continua y la funciónescalonada correspondiente también establece la relación entre las Transformadas de Laplace y Zeta de cada una de ellas
f(t) TL→ F(s) = ∫+∞ 0 f(t) e– st dt
↓ Muestreo con período T f(nT) TZ→ F(z,T) = Σ +∞
n=0 f[nT] z – n
A partir de la TZ se puede definir una TZ para un período T.

Multiplicando por T


Y cambiando de variables y pasando al límite pata T → 0+ se obtiene laTL
tn = nT
T = (n+1)T – nT = Δt
z = eST

La Región de CV de la TL y la TZ también están relacionadas por la función z = eST

Como se observa en el gráfico la ROC de la TL: un semiplano de s a la derecha de la abscisa α se transforma en la ROC de la TZ unilateral, una Bola con centro en el ∞ y Radio R = eαT
APROXIMACION DE DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS
La aproximación de lasEcuaciones Diferenciales por Ecuaciones en Diferencias se basa en la aproximación de las Derivadas con Diferencias. Se presentan como ejemplo dos variantes , aunque puede haber otras opciones :
Primera aproximación para la Ecuación Diferencial
y(t) → y[n]

Segunda aproximación:

APROXIMACIÓN DE INTEGRALES CON SUMAS FINITAS
También las Integrales de Riemann o Impropias se pueden calcular por...