Aproximacion Binomial A La Normal

Introducción:

La distribución de probabilidad conocida como distribución normal es, por la cantidad de
fenómenos que explica, la más importante de las distribuciones estadísticas. A la distribución normal también se la denomina con el nombre de campana de Gauss, pues al
representar su función de probabilidad, ésta tiene forma de campana. En el math-block sobre la distribución binomial seintroduce el concepto de variable aleatoria,
distinguiendo además dos tipos de variables, las discretas y las continuas. En este apartado
seguimos con el estudio de distribuciones de probabilidad analizando la distribución de
probabilidad continua más importante, la distribución normal. A continuación veremos las características principales de una distribución de probabilidad normal, definiendoposteriormente la distribución normal estándar así como sus usos. Posteriormente,
veremos cómo utilizar la distribución normal para estimar probabilidades binomiales.

Objetivos:

• Entender el concepto de variable aleatoria continua
• Conocer las características de la distribución de probabilidad normal
• Aprender a calcular los valores de Z
• Saber determinar la probabilidad de que unaobservación se encuentre entre dos puntos
utilizando la distribución de probabilidad normal
• Saber determinar la probabilidad de que una observación esté por encima (o por debajo) de
un cierto valor utilizando la distribución de probabilidad normal
• Aprender a comparar observaciones que se encuentran en diferentes distribuciones de
probabilidad
• Ser capaz de utilizar la distribución normalpara aproximar la distribución de probabilidad
binomial

Distribución binomial, con Aproximación a la Normal

Para calcular probabilidades de distribuciones discretas con números grandes, es preciso sumar muchos términos, lo cual puede resultar poco práctico. Sin embargo las características de algunas distribuciones, como la binomial y la Poisson, permiten muy buenas aproximaciones mediantela distribución normal. Y como la distribución normal se puede obtener de una tabla, el problema de sumar una gran cantidad de términos queda reducido a buscar uno o dos valores en una tabla.
A continuación se presentan los métodos y justificaciones de cómo efectuar tales aproximaciones.
Aproximación de la distribución binomial por la distribución normal
Si X es una variable distribuidabinomial mente, con n ≥10 y p cercano a 0,5

Esto es válido porque si p es cercano a 0,5 y n es lo suficientemente grande (generalmente se pide n ≥ 10) entonces la forma de la distribución binomial, a pesar de ser discreta, se parece mucho a la de la una distribución normal. El cambio de variable Y no es otra cosa que la estandarización de esa variable aproximadamente normal (ya que n.p es lamedia de X y que el denominador es el desvío de X).

En el gráfico vemos una variable binomial(n = 100 ; p = 0,5) junto con una variable normal(m = 50 ; s = 5). Esta propiedad nos permite utilizar una variable normal estándar, que se encuentra tabulada, para ahorrarnos la engorrosa tarea de sumar una cantidad elevada de términos de probabilidades binomiales, especialmente cuando n es muy grande yla cantidad de éxitos está lejos de 0 y lejos de n, con lo cual la sumatoria tiene muchos términos aunque se intente restar del 1 en vez de sumar.

Queda por hacer una observación antes de poder utilizar esta propiedad. Al estar aproximando una distribución discreta por una continua, lo que se hace es tomar intervalos de la continua, que representan los valores puntuales de la discreta. Porejemplo, consideraremos que la discreta vale 43, si la continua tiene cualquier valor entre 42,5 y 43,5. Entonces la probabilidad de que la discreta esté entre 8 y 12 no es la probabilidad de que la continua esté entre 8 y 12 sino de que esté entre 7,5 y 12,5. Considerar esto se conoce como "corrección por continuidad".

Ejemplo:
Se tiene una variable aleatoria X:Bi(n = 50 ; p = 0,4). ¿Cuál es la...