aproximacion binomial a normal

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL A LA NORMAL, LA CALCULADORA Y
LAS TIC
Abel Martín (*) Rosana Álvarez García (†)

En dos artículos anteriores ya hemos estudiado la distribución
Binomial de parámetros B(n, p) y la distribución Normal de parámetros
N(µ, σ).
Cuando "n" es grande, la distribución Binomial resulta laboriosa y
complicada, por lo que el matemático Abraham de Moivre(1667-1754)
demostró que cuando se dan ciertas condiciones una distribución
Binomial se puede aproximar a una distribución Normal de media µ = n·p
y desviación típica: σ =
µ = n·p
σ=

n⋅ p⋅q

n⋅ p⋅q
B(n, p) ≅ N (n·p,

n⋅ p⋅q )

Si estudiamos la gráfica de varias distribuciones binomiales vemos que, a medida que
aumenta el parámetro "n" (tamaño muestral), su gráfica se asemeja cada vezmás a la
gráfica de una distribución normal. Así:
 1
B 10, 
 3

 1
B 10, 
 3

1

B  50, 
3


1

B  50, 
3


1

B 100, 
3


1

B 100, 
3


N(3.33, 1.49)

N(16.66, 3.33)

N(33.3, 4.71)

Una diferencia entre los gráficos de la normal y de la Binomial es que la distribución
Binomial se va desplazando hacia la derecha a medidaque aumenta el tamaño muestral. Para
evitar esta desviación se realiza el ajuste entre ambas distribuciones restando a la variable
la media y dividiendo por la desviación típica de la distribución Binomial con la que se
trabaja.
*
†

Profesor de Matemáticas del IES Pérez de Ayala (Oviedo - Asturias)
Profesora de Tecnología del IES Cangas del Narcea (Asturias)

Mayo 2006 • 2006ko Maiatza171

SIGMA

La Distribución Normal, la Calculadora y las nuevas Tecnologías

28

Abel Martín y Rosana Álvarez García

X=

x −n⋅ p
n⋅ p⋅q

La bondad de la aproximación es tanto mejor cuanto mayor sea n y cuanto más próximo
esté p de 0.5. Esta aproximación está especialmente indicada cuando n es mayor que 30,
aunque como las tablas de distribución Binomial suelen ofrecer susvalores para
distribuciones para tamaños muestrales n = 10, la aproximación comienza a realizarse para
tamaños muestrales de n > 10. En la actualidad, cualquier tipo de calculadora, por muy
básica que sea, nos permite calcular probabilidades de la distribución Binomial que hasta
ahora precisaban cálculos muy repetitivos y tediosos.
Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, la aproximación realizada es buena y nospermite calcular
probabilidades con facilidad.
A continuación vamos a describir una nueva forma de afrontar estos problemas,
suponiendo que el alumno tiene una calculadora gráfica como herramienta habitual (en
nuestro caso utilizamos la CFX 9850 GB PLUS, la FX 9860G de CASIO y la CLASSPAD
300), como ya ocurre en las "aulas" de la casi totalidad de los países "desarrollados",
incluidas granparte de nuestras Comunidades Autónomas. El uso de la calculadora gráfica
nos permite comprobar ágilmente y de forma visual, aquello que estamos buscando, con un
enfoque más investigador e innovador, dando prioridad al razonamiento, permitiéndonos
más tiempo para pensar y analizar tanto lo que hacemos como los resultados que
obtenemos, así como poder observar la procedencia de determinadasfórmulas utilizadas
con asiduidad.
Hay que tener en cuenta que en esta aproximación pasamos de una distribución para
una variable aleatoria discreta a una distribución para una variable aleatoria continua. En
las variables aleatorias continuas la probabilidad de que la variable tome un valor concreto
es cero, mientras que en las variables discretas no. Para poder realizar cálculos de valores
de lavariable concretos debemos realizar una corrección de continuidad.
P(X = k) = P(k – 0.5 ≤ X ≤ k + 0.5)=
= P(X ≤ k + 0.5 ) - P(X ≤ k - 0.5)

k-0.5 K+0.5

k+0.5
P(X ≤ k + 0.5 )

172

K-0.5
P(X ≤ k - 0.5)

SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.

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MODELO DE ACTIVIDAD (I)
Se lanza un dado 360 veces. ¿Cuál es la probabilidad de...