Apuntes Algebra

NÚMEROS IMAGINARIOS.

(-1 ) (-1 )= (-1 )2 = i 2= -1


(-1 ) (-1 )= (-1 )2 = i 2= -1


x2+1= 0
i
i
x2=-1
x=-1

SUMA
-4i + 7i = 3i
PRODUCTO
(3i ) (8i ) = 24i 2= -24
(-5i ) (-4i ) (2i ) = 40i 3= 40i 2 i = -40i
COCIENTE

2 i 3 =2 i 2i =-2i ii =-2i i 2=-2i-1=2i

DEFINICIONES DE NUMERO COMPLEJO, FORMA BINOMICA, IGUALDAD,CONJUGADO Y FORMA CARTESIANA.

Al sumar un número real con un número imaginario se obtiene un número complejo. El conjunto de los números complejos se representa con la letra “C”. Los números complejos tienen la forma binomica:
z= a+bi
Donde a y b son números reales, e i cumple con i 2= -1.
El numero a es llamado parte real y se denota como: a= Re(z) y b la parte imaginaria y se denota comob=Img(z).

Representación grafica de la forma binomica
Representación grafica de la forma binomica
a+bi
a+bi
bi
bi

i
i

a
a

Los puntos sobre el eje de las abscisas, o eje real corresponde a los números reales de la forma x+0i y los puntos sobre el eje de las ordenadas o eje imaginario corresponden a los números imaginarios y son de la forma 0+yi.
m+n= (-3-7)+(2-4)i
m+n=(-3-7)+(2-4)i
m= -3+2i
n= -7-4i
m= -3+2i
n= -7-4i

z+w= a+c+(b+d)i
z+w= a+c+(b+d)i
z= a+bi
m+n= -10-4i
m+n= -10-4i
w= c+di

z+w
z+w
yi
yi

w
w
z
z
x
x

La manera algebraica de multiplicar un numero Real “e” y un numero complejo de la forma z= a+bi
-1
-1
a+bic+di=ac+adi+cbi+bdi2
=ac+ad+cbi-bd=(ac-bd)+ad+cbi

a+bic+di=ac+adi+cbi+bdi2
=ac+ad+cbi-bd
=(ac-bd)+ad+cbi

ez, con e>0
ez, con e>0
x
x
yi
yi
ez, con e<0
ez, con e<0
ea+bi=ea+ebi
-5-3-7i=15+35i
10-4+5i=-40+50i
ea+bi=ea+ebi
-5-3-7i=15+35i
10-4+5i=-40+50i

-4+5i3-2i=-12+8i+15i-10i2=(-12+10)+23i
= -2+23i

-4+5i3-2i=-12+8i+15i-10i2
=(-12+10)+23i
= -2+23i

La igualdad entre números complejos se establece de la siguiente forma:
a+bi=c+di⟺a=c & b=d
8-4i
8+4i

8-4i
8+4i

-3+5i
-3-5i

-3+5i
-3-5i

Al complejo a- bi se le llama conjugado delcomplejo z= a+bi



El producto de 2 nuemros conjugados z=a+bi y z=a-bi es un numero real.
a+bia-bi=a2-abi+abi-b2i2
a
b
a
b
a
b
a
b
=a2+b2
-8-5i-8+5i=64+25=89
=64-40i+40i-25i2
=64+25=89

-8-5i-8+5i=64+25=89
=64-40i+40i-25i2
=64+25=89


5+3i5-3i=25+9=34
=25-15i+15i-9i2
=25+9=34

Ejemplos:
2+i1-2i3-i=2+i1-2i3+i3-i3+i=2-4i+i-2i23+i9+1=4-3i3+i10=(12+4i-9i-3i2)10=15-5i10=1510-510i=32-12i


7+3i8+5i-11+2i5+4i=7+3i8+5i-11+2i5-4i5+4i5-4i
=7+3i-3+3i5-4i41=-21+21i-9i+9i25-4i41=-30+12i5-4i41
=-150+120i+60i-48i241=-102+180i41=-10241+18041i


2+i2-i(8+i)8-i(8+i)=5(8+i)65=40+5i65=4065+565i=813+113i
EJERCICIOS.
1. 7-i+-6+3i-4+3i=7-i-6+3i-4-3i=-3-i

2.2+i1+3i5-4i=2+i1+3i5+4i5+4i5-4i=2+6i+i+3i25+4i41=-1+7i5+4i41=-5-4i+35i+28i241=-33+31i41
=-3341+3141i

3. 4+3i1-2i7-i=4+3i1-2i7+i7-i7+i=4-8i+3i-6i27+i50=10-5i7+i50=70+10i-35i-5i250=75-25i50
=7550-2550i=32-12i

4. 3+4i5+2i3i=3+4i5+2i-3i3i-3i=15+6i+20i+8i2-3i9=7+26i-3i9=-21-78i29=-219+789i
=-73+263i

5.- 7-4i3+2i-20-4i5-2i= 7-4i-17+6i5+2i5-2i5+2i
= -119+42i+68i-24i25+2i25+4= -95+110i5+2i29
= -475-190i+550i+220i229
= 75-410i29 = 7529-410i29

Tarea:
1.- 3i-45i-2-15-2i=15i2-6i-20i+8-15-2i
= -7-26i-15-2i=-22-24i

2.- 4-2i-5+2i-2-4i3+2i = 4-2i-7-2i3-2i3+2i3-2i
=...