Apuntes Circuitos Corriente Alterna 1 311412

Números Complejos
Un número complejo

es un número de la forma

(representación

binómica) donde x , y son números reales e
√ 1 (unidad imaginaria) . En un
número complejo el término x es llamado la parte real (Re
e y la parte
imaginaria (Im
. Cuando x=0 el número se denomina imaginario puro.


Dos números complejos
y b d .

son

iguales si

Representación grafica de un númerocomplejo:

Donde

ɶ ɶ * si el conjugado de Zɶ es Zɶ * = x − iy ; Zɶ = ( x + iy )( x − iy ) ;
Zɶ = ZZ
Zɶ = ( x 2 − ixy + iyx − i 2 y 2 ;

i 2 = −1 ;

Zɶ = x 2 + y 2 .

Entonces podemos escribir e l número complejo como: Zɶ = Zɶ cos θ + i Zɶ senθ
Zɶ = Zɶ [ cos θ + i senθ ] . Considerando el teorema de Euler e iϕ = cos ϕ + isenϕ ,
entonces,el compejo Zɶ se escribe como: Zɶ = Zɶ e iθ ( forma exp onencial )Notación en el dominio del tiempo para el estudio de circuitos de corriente (voltaje)
alterna.
Una señal de corriente (voltaje) senoidal (cosenoidal), es:

Forma sinusoidal:
v1 (t ) = V01 sen (ω t + ϕ1 ) [V ]

;

i1 (t ) = I01 sen (ω t + φ1 ) [A]

v2 (t ) = V02 cos (ω t + ϕ2 ) [V ] ;

i2 (t ) = I02 cos (ω t + φ2 ) [A]

Forma cosenoidal:

Donde :
V01 , V02 : Voltajes máximos ; I01 , I02:Corrientes máximas ;

ω : frecuencia angular (pulsación) en [rad / s ] ;
ϕ1 , ϕ2 , φ1 y φ2 fases iniciales en [rad ]
Nota: La fase inicial también se puede presentar en grados sexagesimales, pero si se
desea evaluar v(t) o i(t), el ángulo de fase inicial debe presentarse en radianes.
Ejemplos:

(

v(t) = 5.0 sen 300t + π

(

i(t) = 1.1 cos 200t + π

3

4

) [V ]

) [A]

ó

ó

v(t) = 5.0 sen ( 300t + 60° )[V ]
i(t) = 1.1 cos ( 200t + 45° ) [A]

En la mayoría de los casos, el desfase que cuenta es el desfase dentro de un
mismo período (una sinusoide es idéntica a ella misma desplazada de un número
entero de longitudes de onda o de períodos). Podemos sumar o restar 2π a Δφ tantas
veces como sea necesario para obtener un desfase inferior a 2π. Aun así nos queda
una ambigüedad: una señal en avance defase de 350° es idéntica a una señal con 10°
de retardo. Podemos, arbitrariamente, sumar o restar 2π suplementarios a Δφ para
que el desfase resultante esté comprendido entre −π y +π. Decidimos, de la misma
manera arbitraria, que los desfases negativos corresponden a un retardo de fase y los
desfases positivos a un avance de fase. Pero no olvidemos que ese retardo o avance
convencional nocorresponde necesariamente a la realidad física.

En la figura se muestra, el desfase φ de dos señales de la misma frecuencia,
donde τ [s] es el período temporal de la señal.

En la figura siguiente, las curvas están representadas en función del tiempo. El
tiempo, en abscisa, aumenta hacia la derecha: el pasado está a la izquierda y el futuro
a la derecha. La curva negra pasa por su cresta un poco antesque la curva roja. Es
decir, la curva roja está en retardo con respecto a la negra, o la curva negra adelanta a
la curva roja.

Ejemplo:
Si : v(t ) = V0 cos (ωt + ϕ1 ) [V ] ,

i(t ) = I0 cos (ωt + ϕ2 ) [A]

Re alicemos ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 (tomamos como referencia la corriente)
si ∆ϕ = 0 ⇒ voltaje y corriente en fase.
si ∆ϕ > 0 ⇒ corriente adelanta al voltaje.
si ∆ϕ < 0 ⇒ corriente atrasa al voltaje.Casos particulares:
•
•

Si ∆ϕ = ±π las dos ondas están en oposición de fase.
Si ∆ϕ = ± π/2 las dos ondas están en cuadratura.

Nota: Para determinar la diferencia de fase, las señales a comparar deben estar
representadas en la misma función (seno o coseno) . Para realizar esta operación se
utilizan las siguientes identidades trigonométricas:

sen (α ± β ) = sen α cos β ± sen β cos α ; cos (α ± β ) =cos α cos β ∓ sen α sen β
Ejemplo:

Si v(t ) = 5.0 cos ( 200t + 30° ) [V ] y i(t ) = 2.3 sen ( 200t + 10° ) [A]
Determinar la diferencia de fase entre las señales tomando
como referencia al voltaje.
Resp.: debemos representar las señales en seno o coseno.

a.-Las dos señales en coseno.
Re cordemos cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β
i(t ) = 2.3 sen ( 200t + 10° ) [A]
cos ( 200t + 10° ± β )...