Apuntes De Conjuntos Y Enteros

Iv´an Giovanny Mosso Garc´ıa
Departamento de Formaci´on B´asica
Matem´aticas Discretas

Apuntes de Teor´ıa de Conjuntos y N´umeros Enteros

1.

´
Algebra
de conjuntos

´
Teorema 1.1. (Algebra
de conjuntos, Propiedades de los conjuntos)
Sean A, B y C conjuntos de un universo U. Entonces tenemos las siguientes propiedades.
i. Propiedad del doble complemento (Ac )c = A
A∩B =B∩A
A∪B =B∪A

ii.Propiedad conmutativa
iii. Propiedad asociativa

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

iv. Propiedad distributiva

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c

v. Propiedad de De Morgan

A∩U =A
A∪φ=A

vi. Propiedad de los neutros
vii. Propiedad de los inversos

A ∩ Ac = φ
A ∪ Ac = U

viii. Propiedad de dominaci´on

A∩φ=φ
A∪U =Uix. Propiedad de idempotencia
x. Propiedad de absorci´on

A∩A=A
A∪A=A

A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
1

2 CARDINALIDAD

2

Demostraci´
on.- ejercicio
Observaciones 1.2. Sean A y B conjuntos de un universo U.
i. A \ B = A ∩ B c ,
ii. Ac = U \ A,
iii. φc = U y U c = φ.
Proposici´
on 1.3. Sean A, B y C conjuntos de un universo U tales que A ⊆ B. Entonces
A ∩ C ⊆ B ∩ C y A ∪ C ⊆ B ∪ C.
Demostraci´on.- Probemos primero que A ∩ C ⊆ B ∩ C.
Sea x ∈ A ∩ C, luego x ∈ A y x ∈ C. Como A ⊆ B entonces x ∈ B, as´ı x ∈ B ∩ C. Por
lo tanto A ∩ C ⊆ B ∩ C.
Ahora probemos que A ∪ C ⊆ B ∪ C.
Tenemos que A ⊆ B y que B ⊆ B ∪ C , luego A ⊆ B ∪ C. Por otro lado C ⊆ B ∪ C. Por
lo tanto A ∪ C ⊆ B ∪ C.
En esta demostraci´on se utilizaron algunas propiedades de la contenci´on.

2.

Cardinalidad

Definici´
on 2.1.Sea A un conjunto en universo U. Definimos a la cardinalidad del conjunto A como:
i. |A| = 0 si A = φ,
ii. |A| = n, donde n ∈ N y n es la cantidad de elementos que tiene el conjunto A.
iii. |A| = ∞ en otro caso.
Si |A| ∈ N ∪ {0}, entonces decimos que A es de cardinalidad finita y escribimos |A| < ∞.
En otro caso, decimos que A es de cardinalidad infinita y escribimos |A| = ∞.
Ejemplos 2.2.
i. Seael universo U = N. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7} y
C = {6, 7, 8}.
Tenemos que:
|A| = 5,
|B| = 4,
|C| = 3,
|U| = |N| = ∞,
|A ∩ B| = |{2, 3}| = 2,
|A ∪ B| = |{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}| = 7,
|A ∩ C| = |φ| = 0,
|Ac | = |{6, 7, 8, . . . }| = ∞,
|A \ B| = |{1, 4, 5}| = 3.
ESCOM-IPN

IGMG

2 CARDINALIDAD

3

ii. Si en el ejemplo anterior el universo es U = {1, 2, . . . , 8, 9}, entonces
|Ac | =|{6, 7, 8, 9}| = 4.
Proposici´
on 2.3. Sean A y B conjuntos de un universo U. Entonces
i. si |A| < ∞ (A es de cardinalidad finita), entonces |Ac | = |U| − |A|.
ii. si |A ∩ B| < ∞, entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
iii. si |A ∩ B| < ∞, entonces |A \ B| = |A| − |A ∩ B|.
Demostraci´
on.- pendiente
Ejemplo 2.4. Se desarrolla una encuesta entre 100 estudiantes de la ESCOM para saber
cualesmaterias , de entre Matem´aticas Discretas, F´ısica y Calculo, les parecen dif´ıciles.
Se obtienen los siguientes resultados.
A 45 les parece dif´ıcil Matem´aticas Discretas
A 50 les parece dif´ıcil F´ısica
A 55 les parece dif´ıcil C´alculo
A 15 de los que no los parece dif´ıcil Calculo les parece dif´ıcil F´ısica.
Suman 70 a los que les parecen dif´ıciles Matem´aticas Discretas o C´alculo.
A 5 lesparecen dif´ıciles Matem´aticas Discretas y F´ısica pero no C´alculo.
Son 25 a los que les parecen dif´ıciles las tres materias y 20 a los que ninguna.
Determinemos la cantidad de estudiantes a quienes les parecen dif´ıciles Matem´aticas
Discretas y C´alculo pero no F´ısica, y la de quienes solo creen que F´ısica es dif´ıcil.
Sea U los alumnos encuestados. Sean
A los alumnos a los que les parecedif´ıcil Matem´aticas Discretas,
B los alumnos a los que les parece dif´ıcil F´ısica,
C los alumnos a los que les parece dif´ıcil C´alculo.
Entonces los datos que conocemos son:
|U| = 100,
|A| = 45,
|B| = 50,
|C| = 55,
|C c ∩ B| = 15,
ESCOM-IPN

IGMG

2 CARDINALIDAD

4

|A ∪ C| = 70,
|(A ∩ B) \ C| = 5
|A ∩ B ∩ C| = 25 y
|(A ∪ B ∪ C)c | = 20.
Los datos que queremos conocer son |(A ∩ C) \ B| y |B \ (A...