Apuntes de control ii

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OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

EL ALUMNO DEBERÁ SER CAPAZ DE COMPRENDER Y UTILIZAR LOS CONCEPTOS DE RESPUESTA A LA FRECUENCIA, DISEÑO DE COMPENSADORES Y ESTABILIDAD Y MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADO, ADICIONALMENTE DEBERÁ RECORDAR Y APLICAR LOS CONCEPTOS DE ANÁLISIS EN EL TIEMPO.

ESTABILIDAD

* p(t)
SE DICE QUE UN SISTEMA ES ESTABLE CUANDO SU RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO TIENDE A CERO,A MEDIDA QUE EL TIEMPO TIENDE A INFINITO.
r(t)

s(t)

t→∞

* UN SISTEMA ES ESTABLE SI ES CAPAZ DE RETORNAR A SU ESTADO INICIAL DESPUÉS DE UN TRANSITORIO.
c(t)
r(t)

Sistemas

* UN SISTEMA ES ESTABLE, CUANDO TODOS LO POLOS SE ENCUENTRAN EN EL SPI (SEMIPLANO IZQUIERDO) DEL PLANO “S”.

Polos del
Sistema
Semiplano SemiplanoIzquierdo Derecho

FUNCION DE TRANSFERENCIA

LA FUNCION DE TRANSFERENCIA ES EL MODELO MATEMATICO QUE REPRESENTA A UN SISTEMA FISICO.

Y(S)= F(S)X(S)

F(s)=LV₀(t)}LVi(t)}

Vis=Ldi(t)dt + Ri(S)+ 1c itd(t)

VO= 1c itd(t)

L {Vi(t)} = ℒ {L di(t)dt }+ ℒ{ Ri(t)} + ℒ{1c itd(t)}

Vi(s)= L I(S) S + R I(S) + I(s)C(s)ℒ{Vo(s)}= ℒ{ 1c itd(t)}

Vo(s) = I(s)C(s)

F(s) = I(S)CSIs[ LS+R+ 1CS ] = 1CS [ LC2+RCS+1CS ] = 1LCS²+RCS+1

1LCS²+RCS+1

Vi(s) Vo(s)

EN FORMA GENERAL

LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ES:

F(s) = Wn²S²+2ξ Wn S+Wn²

Wn= FRECUENCIA NATURAL NO AMORTIGUADA

ξ= RAZON DE AMORTIGUAMIENTO

S= VARIABLE COMPLEJA

S= Γ + jwF(s) = 1LCS²+RCS+1

F(s) = 1LC [S²+RS+1LC ]
Wd= Wn 1+ ξ²

c(t)
C(t) = 1- e-ξ Wnt1+ ξ² sen (Wd t + φ)
F(s) = 1LCS²+RL S+1LC Frecuencia natural amortiguada

Wn2= 1LC
φ= tg-1 ξ1+ ξ²

t
Wn= 1LC ∴
2 ξ Wn= RL
Respuesta al Escalón Unitario
r(t)
c(t)
de un sistema de 2do orden.
u(t)
Sistema de 2do orden
ξ= RL2 Wn = RL2 1LC

tt

ANALISIS EN LA FRECUENCIA

EN EL TIEMPO

r(t)
t
r(t)
t
f(t)
Sistema
u(t)

EN EL TIEMPO

Sistemas

NYQUIST Y BODE ESTUDIABAN LOS CAMBIOS EN MAGNITUD Y FASE; DETERMINARON EL MG (MARGEN DE GANANCIA) Y UN MARGEN DE FASE) LOS CUALES SON PARAMETROS QUE SIRVEN PARA MEDIR LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS.

ANALISIS POR EL METODO DE NYQUIST

ES UN METODO DE ANALISIS EN EL DOMINIODE LA FRECUENCIA, QUE USA GRAFICAS POLARES PARA DETERMINAR LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL; GRAFICANDO EN EL MISMO PLANO LA V/S EL ANGULO DE FASE.

SABEMOS QUE EL DOMINIO DEL TIEMPO:

SI TENEMOS f(t)= t
t≥ 0
f(t)= 0
t= 0
f(1)=1
f(2)=2

SIN EMBARGO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

F(S)= S S= VARIABLE COMPLEJA
S= Γ + jw

F(Γ + jw)= Γ + jw S1= 1 +J1Γ= REAL
jw= IMAGINARIA

REPRESENTACION DE UNA FUNCION COMPLEJA

REAL DE F(S)
IMAG. DE F(S)
MAGNITUD
ARGUMENTO
PROYECCION DE UNA FUNCION COMPLEJA
S1= ᴦ1 + jw1

S2= ᴦ1 - jw1

PLANO “S” PLANO F(S)

F(ᴦ+jw) = (ᴦ + jw) F(S1)=S1= ᴦ1 + jw1


ARG F(ᴦ+jw) = ARG (ᴦ + jw) F(S2)=S2= ᴦ1 - jw1

EJEMPLO: DETERMINAR LA PROYECCION DEL PLANO “S” AL PLANO F(S)S2
S1
S3
S4

F(S) = S + 2

S1= -2 + J3 F (S1) = (-2 + J3) + 2= J3
S2= 2 + J3 F (S2) = ( 2 + J3) + 2= 4 + J3
S3= 2 – J3 F (S3) = (-2 – J3) + 2= – J3
S4= -2 – J3 F (S4) = (-2 – J3) + 2= 4 – J3

PROYECCIONES

F (S1) = 0 + J3 = 02+32 = 3

Arg {F (S1)} = Arg {0 + j3} = tg-1 3/0 = tg-1 ∞= 90°

F (S2) = 4 + J3 = 42+32 = 5

Arg {F (S2)} = Arg{ 4 + j3} = tg-1 3/4 =36.86°

F (S2) = 4 - J3 = 42+(-32) = 5

Arg {F (S3)} = Arg{ 4 - j3} = tg-1 -3/4 = -36.86°

F (S4) = - J3 = 02+(-32) = 3

Arg {F (S3)} = Arg {- j3} = tg-1 -3/0 = tg-1 -∞= - 90°

CONCEPTOS Y DEFINICIONES

1.- PUNTO SINGULAR O SINGULARIDAD: SON LOS PUNTOS DONDE LA FUNCION Y SUS DERIVADAS NO SON ANALITICAS.

EJEMPLO: PUNTO SINGULAR DE F(S) ES UN POLO O UN CERO.

POLO: SON LOS...
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