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Diagramas de características en barras de eje curvo · Arcos Consideraremos en nuestro análisis, un elemento diferencial de barra de eje curvo que forma parte de una estructura plana en equilibrio , perteneciente al plano "z-y", cuya longitud proyectada sobre el eje z es dz. Sobre el elemento que analizaremos actúa un sistema de fuerzas cuya ley de variación es continua y derivable. Luego de poneren las secciones extremas del elemento aislado las fuerzas que el resto de la estructura ejercía sobre él obtendremos, si referimos dichas fuerzas generalizadas a la terna correspondiente a los esfuerzos característicos, un sistema en equilibrio que es el esquematizado en la figura 1.

Debido a que el eje de la barra es curvo, resulta más conveniente equilibrar las acciones externas confuerzas que mantengan su orientación para todas las secciones de la barra. De este modo, en lugar de considerar la dirección de las fuerzas en relación al plano de la sección, consideraremos fuerzas horizontales y verticales aplicadas en los baricentros de las secciones extremas y obtenemos el sistema en equilibrio esquematizado en la figura 2.

Las relaciones existentes entre el sistema de fuerzasN(z), Q(z) y su equivalente constituido por H(z) y V(z) son las siguientes, y surgen de observar la figura 3. · [1] · [2] N( z) = H( z) ⋅ cosα( z) + V( z) ⋅ sinα( z) Q( z) = −H( z) ⋅ sinα( z) + V( z) ⋅ cosα( z)

A continuación determinaremos las relaciones entre las cargas exteriores y las funciones H(z) y V(z) planteando el equilibrio del elemento diferencial de barra bajo la acción de lasfuerzas generalizadas esquematizadas en la figura 2. Las ecuaciones a plantear son: Nulidad de la suma de las proyecciones de las fuerzas generalizadas sobre el eje z (horizontal). Nulidad de la suma de las proyecciones de las fuerzas generalizadas sobre el eje y (vertical). Nulidad de la suma de los momentos de las fuerzas generalizadas respecto del punto B.

· [3] · [4] · [5]

H( z) + dH − H( z)+ p z( z) ⋅ dz = 0 V( z) + dV − V( z) + p y ( z) ⋅ dz = 0 dz dy M ( z) + dM − M ( z) − V( z) ⋅ dz + H( z) ⋅ dy + p y ( z) ⋅ dz⋅ − p z( z) ⋅ dz⋅ =0 2 2

Teniendo en cuenta que los dos últimos términos de la expresión [5] no son apreciables frente a los demás por contener un producto de diferenciales concluimos que las siguientes, son las relaciones diferenciales entre las cargas exteriores y lasfunciones H(z) y V(z):

· [6]

dH dz

= −p z( z)

· [7]

dV dz

= −p y ( z) dy dz

· [8]

dM dz

= V( z) − H( z) ⋅

Recordando que: · [9] cosα = 1 1 + ( tgα) · [10] sinα = tgα 1 + ( tgα) · [11] tgα = dy dz
2 2

si conocemos la función y ( z), que describe el eje de la barra, estaremos en condiciones de trazar los diagramas de características de la misma.

Trazar losdiagramas de esfuerzos característicos del arco parabólico triarticulado representado en la figura siguiente, sujeto a una carga uniformemente distribuida p y ( z):

Cálculo de las reacciones de vínculo externo: En este caso p y ( z) = p y p z( z) = 0

Puestas en evidencia las incógnitas, plantearemos las siguientes ecuaciones de equilibrio para determinar las componentes de reacción de vínculoexterno :

Diagrama de cuerpo libre bajo la acción de las fuerzas exteriores:

En virtud de la expresión · [6] ,

dH dz

= −p z( z)

En el caso que nos ocupa p z( z) es nula, por lo tanto H( z) es una función constante. Conociendo el valor de la función en un punto (por ejemplo H( L) = − p⋅ L
2

8⋅ f

), podemos trazar el diagrama de H( z) .

dV Por otra parte p y ( z) es unafunción constante, por lo tanto, en virtud de la · [7] ( = −p y ( z) ) , V( z) deberá ser dz p⋅ L p⋅ L una función lineal. Conociendo el valor de la función en dos puntos V( 0 ) = y V( L) = podremos trazar 2 2 el diagrama de V( z) .

De los diagramas surge que : p⋅ L
2

· [12]

H( z) = −

8⋅ f

· [13]

V( z) = p ⋅ ⎛ ⎜

L

⎝2

− z⎞ ⎟

⎠

Determinación de la función y(z): Como...