AREA BAJO LA CURVA

CALCULO INTEGRAL
CONCEPTOS DE AREA BAJO LA CURVA
El problema del área, el problema de la distancia tanto el valor del área debajo de la
gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular
aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
Lo que tenemos que hacer es
calcular el área bajo la curva de
esta función, es necesarioentenderlo por el método de
construcción de rectángulos y
calcular el área por cada uno y
posteriormente hacer la sumatoria.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)]

x

(Se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)]

x

(Se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)]

x

(Se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es
necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad
de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
TEOREMA 1. Si f es una funcióncontinua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a - b, que se indica

es el número:

[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)]

x o bien

donde x0 = a, xn = b y

x

.

(La función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi 1, xi] con i = 1, .., n)
TEOREMA 2. Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integraldefinida de f de a - b, que se indica

es el número:

[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)]

donde x0

a, xn

by

x

x

.

(La función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi 1, xi] con i

1, .., n)

TEOREMA 3. Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a - b, que se indica

es el número:

[f(t1) +f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)]

donde x0

a, xn

by

x

x

.

(La función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi 1, xi] con i

1, .., n)

El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de
integración.

Notación y terminología:
LIMITE SUPERIOR
DE LA INTEGRAL

LA FUNCION ES EL
INTEGRANDO

SIGNO DE
INTEGRAL

X ESLA VARIABLE
DE INTEGRACION

LIMITE INFERIOR
DE LA INTEGRAL

SE LEE: LA INTEGRAL DE f DE a HASTA b

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se evalúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor
por eso podemos asegurar que el valor de
es el mismo independientemente de
cómo elijamos los valores de x paraevaluar la función (extremo derecho, extremo
izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición
más general.

INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función continua definida para a

x

b. Dividimos el intervalo [a, b] en n

subintervalos de igual ancho x
. Sean x0 a y xn b y además x0, x1, ...., xn los
puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de
modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi 1, xi] con i 1, .., n.

Entonces la integral definida de f de a - b es el número

.

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra
en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema decálculo de
áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es
válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre

debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la
gráfica y el eje x.

SUMA DE REIMANN

La suma
que aparece en la definición de integral definida se llama suma...