area de un poligono

Es evidente que el método para hallar este área de un polígono irregular debe diferir mucho de la que se utiliza para los polígonos regulares. Para calcular el área de un polígono regular, basta conocer un par de parámetros sobre ellos (por ejemplo, el número de lados y la longitud de uno de ellos) y aplicar una de las conocidas fórmulas que aprendimos en el cole.

Sin embargo, lasaplicaciones del mundo real que trabajan con polígonos, suelen hacerlo sobre polígonos irregulares, de ahí su importancia.

Bien… el caso es que si contamos con un polígono irregular cualquiera…. Por ejemplo, éste...


Si estamos resolviendo el problema con lápiz y regla… la solución es sencilla. Cogemos el polígono y lo dividimos arbitrariamente en una serie de triángulos. Da igual qué triángulosescojamos mientras al final sólo queden triángulos.
Por ejemplo, así…

Ahora cogemos una escuadra y una regla y vamos triángulo por triángulo midiendo su base y su altura… y aplicamos esa fórmula que resuena en nuestra memoria como el tintineo de un martillo sobre un yunque: “Area del triángulo igual a base por altura partido por dos…”. Fantástico… una vez hallado el área de cada triángulo, sumamostodas las áreas y tenemos la del polígono entero.


El problema es que en las aplicaciones computacionales, los polígonos no están dibujados, así que no podemos sacar la regla para medir. Debemos recurrir a métodos computacionales.

En primer lugar, es necesario decir que los polígonos suelen definirse por las coordenadas en el plano de los puntos que conforman sus vértices. Uniendo cadapunto con el siguiente y el último con el primero obtendremos una línea cerrada (una serie de segmentos, hablando con más propiedad) que conforma el polígono. Esa línea cerrada encierra una superficie plana que podemos medir. El resultado de esa medida será la extensión del área.

Empecemos por el principio… vamos a ver cómo calcular el área de un triángulo si tenemos las coordenadas de susvértices, y luego veremos cómo utilizar ese método para hallar la de un polígono irregular.
Área de un triángulo
Tomemos un triángulo cualquiera en un plano… Por ejemplo…. Éste triángulo… para manejarlo computacionalmente, lo más frecuente es que almacenemos las coordenadas de sus vértices con respecto a algún sistema de referencia (los ejes que escojamos).

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A la vista de las coordenadas de susvértices, está claro que si queremos aplicar la fórmula de base por altura partido por dos, lo tenemos complicado.

En el foro que comentaba anteriormente, alguien propuso escoger un lado y trabajar con los ángulos que formaban los otros dos para hallar la altura a través de trigonometría… Nadie puede decir que el planteamiento fuera incorrecto… pero existen métodos mucho más sencillos paracalcular el área de un triángulo sin recurrir a trigonometría.

En el caso de que tengamos las coordenadas de sus vértices (como éste), vamos a llamarlas (x1, y1), (x2, y2) y (x3,y3) basta con colocarlas en una matriz cuadrada de 3 por 3 de ésta manera:

En la tercera fila, colocamos, a piñón, el valor ½.

Pues bien… si hacemos el determinante de M y tomamos valor absoluto, sale el área deltriángulo. Parece magia ¿Verdad?... y nada de trigonometría.

Si recuerdas la regla de Sarrus para los determinantes de 3 por 3, el resultado sería:

det(M)=x1·y2·½ + x2·y3·½ + x3·y1·½ - y1·x2·½ - y2·x3·½ - y3·x1·½

Hmmm… El ½ está pidiendo a gritos que lo saquemos como factor común.

det(M)=(x1·y2 + x2·y3 + x3·y1 - y1·x2 - y2·x3 - y3·x1) · ½

Ya está. Finalmente, si el determinante salenegativo, tomamos valor absoluto y ese valor es el área del triángulo.

Vamos a probar con nuestro triángulo del principio… el que tenía de coordenadas de sus vértices los puntos (2,3), (7,1), y (5,7)
 
Al hacer el determinante nos da 13. Ese es el área del triángulo en unidades al cuadrado. Es casi magia… casi. (Me temo que tiene más que ver con el producto escalar de vectores que con la...