area de un triangulo en el plano cartesiano

ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Tomemos un triángulo cualquiera en un plano… Por ejemplo…. Éste triángulo… para manejarlo computacionalmente, lo más frecuente es que almacenemos las coordenadas de susvértices con respecto a algún sistema de referencia (los ejes que escojamos).
A la vista de las coordenadas de sus vértices, está claro que si queremos aplicar la fórmula de base por altura partido por dos,lo tenemos complicado.
En el foro que comentaba anteriormente, alguien propuso escoger un lado y trabajar con los ángulos que formaban los otros dos para hallar la altura a través de trigonometría…Nadie puede decir que el planteamiento fuera incorrecto… pero existen métodos mucho más sencillos para calcular el área de un triángulo sin recurrir a trigonometría.

En el caso de que tengamoslas coordenadas de sus vértices (como éste), vamos a llamarlas (x1, y1), (x2, y2) y (x3,y3) basta con colocarlas en una matriz cuadrada de 3 por 3 de ésta manera:
En la tercera fila, colocamos, apiñón, el valor ½.
Pues bien… si hacemos el determinante de M y tomamos valor absoluto, sale el área del triángulo. Parece magia ¿Verdad?... y nada de trigonometría.

Si recuerdas la regla de Sarruspara los determinantes de 3 por 3, el resultado sería:
det(M)=x1·y2·½ + x2·y3·½ + x3·y1·½ - y1·x2·½ - y2·x3·½ - y3·x1·½
Hmmm… El ½ está pidiendo a gritos que lo saquemos como factor común.det(M)=(x1·y2 + x2·y3 + x3·y1 - y1·x2 - y2·x3 - y3·x1) · ½
Ya está. Finalmente, si el determinante sale negativo, tomamos valor absoluto y ese valor es el área del triángulo.
Vamos a probar con nuestrotriángulo del principio… el que tenía de coordenadas de sus vértices los puntos (2,3), (7,1), y (5,7)

Al hacer el determinante nos da 13. Ese es el área del triángulo en unidades al cuadrado. Escasi magia… casi. (Me temo que tiene más que ver con el producto escalar de vectores que con la magia)
Vamos a comentar una curiosa propiedad de ésta forma de calcular el área de un triángulo y...