Area De Una Region Poligonal En El Plano Cartesiano

Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1
, A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentidoantihorario, tiene como coordenadas : ( ; )
1 1 1 A x y , ( ; )
2 2 2 A x y , ( ; )
3 3 3 A x y ,........, ( ; )
n n n A x y
Entonces el área de la regiónpoligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :


1 1
3 3
2 2
1 1
. .
. .
. .
2
1
x yx y
x y
x y
x y
S
n n
= .....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , alfinal, el primer par ordenado ( ; )
1 1
x y correspondiente
a la coordenada de A1
.
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:1 1
3 3
2 2
1 1
. .
. .
. .
x y
x y
x y
x y
x y
n n
I DDe donde :
1 2 2 3 1 D x y x y ...... x y = + + + n


1 2 2 3 1
I y x y x ....... y x = + + +n Luego el valor de la determinante estará dada por :

D I
x y
x y
x y
x y
x y
n n
= -
1 1
3 3
2 2
1 1
..
. .
. .
....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

2
2
1
S = D - I u ....(3)
Notas :a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)