Area deRegniones Planas

Moisés Villena Muñoz

Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3
3.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS
3.2 APLICACIONES ECONÓMICAS
3.2.1. CAMBIO NETO
3.2.2. EXCESO DE UTILIDAD NETA
3.2.3. GANANCIAS NETAS
3.2.4. EXCEDENTES DE CONSUMIDORES
Y EXCEDENTE DEL PRODUCTOR.

OBJETIVOS
Se pretende que el estudiante:
• Calcule áreas de regiones planas generales
• Resuelva problemas de aplicacioneseconómicas
• Calcule valor promedio de funciones de una
variable.

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del
área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una
suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale auna
integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando
sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que
represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será:

dA= hdx= f (x)dx
b

Por tanto, el área de la región plana es: A =

∫

f ( x ) dx

a

Ejemplo 1

[]

Hallar el área bajo la curva y = xen 1,3
SOLUCIÓN:
2

Primero, hacemos un dibujo de la región:

y

y = x2

1

36

3

x

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

El área bajo la curva estará dada por:,
3

A=

∫

3

⎛ x3 ⎞
⎛ 33 13 ⎞ 27 1 26
x 2 dx = ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ =
−=
⎝ 3 ⎠1 ⎝ 3 3 ⎠ 3 3 3

1

Ejemplo 2
⎧y = x
⎪
Calcular el área de la región limitada por ⎨ y = − x + 6
⎪y =0
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y =

x y y = −x + 6

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

( x)

2

x = −x + 6
= (− x + 6)2

x = x 2 − 12 x + 36
x 2 − 13x + 36 = 0
(x − 9)(x − 4) = 0
x=9 ∨

x=4

El área está dado por:

4

A=

6

∫∫
x dx +

0

3
= 2 (x ) 2
3

(− x + 6)dx

4

6⎞
⎛ x2
+ ⎜−
+ 6x ⎟
⎟
⎜2
0⎝
⎠4
4

2
⎞ ⎛ 42
⎞
3
⎡
⎤⎛6
= ⎢ 2 (4 ) 2 − 0⎥ + ⎜ −
+ 6(6 )⎟ − ⎜ −
+ 6(4 )⎟
3
⎟⎜ 2
⎟
⎣
⎦⎜2
⎝
⎠⎝
⎠

16
− 18 + 36 + 8 − 24
3
22
A=
3
=

37

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Cap. 3

Aplicaciones de la Integral

3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: dA = hdx = [ f (x) − g ( x)]dx
b

Entonces el área de la región plana esta dada por: A =

∫[

f ( x) − g ( x )]dx

a

CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes
pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de
integración.
3. Defina el rectángulo
representativo.

diferencial,

el

elemento

4. Defina laintegral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.
Ejemplo 1
⎧y = x + 4
⎪
Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨
⎪y = x2 − 2
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x 2 − 2
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.

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Cap. 3

Aplicaciones de laIntegral

PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x + 4 = x2 − 2
2

x − x−6=0

(x − 3)( x + 2) = 0
x=3 ∨

x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:
3

A=

∫ [(

)]

(

x + 4 ) − x 2 − 2 dx

−2

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

3

A=

∫

[(x + 4) − (x

−2

2

)]

3

− 2 dx =

∫

[− x

2

]

+ x + 6 dx

−23

⎞
⎛ x3 x2
= ⎜−
+
+ 6x ⎟
⎟
⎜3
2
⎠ −2
⎝
⎞
⎞ ⎛ (− 2)3 (− 2 )2
⎛ 33 3 2
+
+ 6(− 2 )⎟
= ⎜−
+
+ 6(3) ⎟ − ⎜ −
⎟⎜
⎜3
⎟
2
3
2
⎠⎝
⎝
⎠
9
8
= −9 + + 18 − + 2 − 12
2
3
5
A=
6

Ejemplo 2
⎧ y = x 3 − x 2 − 6x
⎪
Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨
⎪y = 0
⎩
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos y = x3 − x 2 − 6 x
PASO 2: Identificamos la región plana,...