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UNIDAD 1 LOS NÚMEROS REALES Los números reales son aquellos que se representan como puntos sobre una recta en la que marcamos el origen como cero.

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Sobre la recta representamos a los números: Naturales: 1,2,3,... Enteros: ...,-2, -1, 0, 1, 2, ... Racionales: son las expresiones de la forma número natural. Por ejemplo:

m donde m es un número entero y n es un n

2 101 3 , − , = 3. 3 7 1Irracionales: no pueden expresarse como fracción de números enteros. Por ejemplo: Operaciones y propiedades de números racionales Consideramos a los números racionales

2, π , e .

a c y . b d
EJEMPLO

PROPIEDAD “fracciones equivalentes”

multiplicando numerador y denominador por una misma constante se obtienen fracciones equivalentes

a c si = b d a ak = b bk

ad = bc .

2 6porque 2 ⋅ 15 = 5 ⋅ 6 = 5 15
2 2⋅4 8 = = 5 5 ⋅ 4 20

−a a a = =− b b −b
“Suma de fracciones de igual denominador”

−2 2 2 = =− −5 5 5
2 3 5 + = =1 5 5 5
fracciones de distinto

a d a+d + = b b b

“Suma de denominador”

a c ad + cb + = b d bd a c ac ⋅ = b d bd

2 4 14 + 20 34 + = = 5 7 35 35

“Producto de fracciones”

2 4 2⋅4 8 ⋅ = = 5 7 5 ⋅ 7 35 2 4 2 7 14 7 ÷ = ⋅ = = 5 7 5 4 20 101

“Cociente de fracciones”

a c a d ad ÷ = ⋅ = b d b c bc

La potenciación y sus propiedades Si a es un número real no nulo (es decir a ≠ 0 ) y n es natural

K a n = a.2 a 13
n veces

Así, la expresión

a n es la forma de indicar la potenciación, en esta notación las partes se llaman
exponente

a
base

n

Señalamos a continuación las propiedades más importantes de estaoperación.

a n . a m = a n+m

(a )

an ⎛a⎞ = n ⎜ ⎟ b ⎝b⎠

n

n m

= a n.m

an = a n−m am
a0 = 1

(a.b )n

= a n .b n

Finalmente, el exponente negativo de a

−n

se interpreta del siguiente modo Por ejemplo 2
−3

a −n =
Veamos una aplicación: Simplificar la expresión

1 an

=

1 . 23

r 2 (t.r ) ⎛t⎞ t .⎜ ⎟ ⎝r⎠
3

5

2

sabiendo que

t, r ≠ 0

r
3

2(t . r )5
2

⎛ t ⎞ t .⎜ ⎟ ⎝ r ⎠

=

r

t5 r t2 3 t . 2 r r
2+5

2

5

=

t5

t 3+ 2 r −2 = r 7−(−2) = r
Ahora intentá rehacerlo vos. Simplificar

=

r 7t 5 t5r −2
9

a 3 b 2 ( ab) 2 a a 2 b −3 4 b

sabiendo que

a, b ≠ 0

Rta:

a 2 b11

2

La radicación y sus propiedades Si a es un número positivo y n es un número natural par (es decir, múltiplo de 2)decimos que la raíz enésima de a es el número positivo b que cumple

bn = a
En símbolos si Por ejemplo:
2

a ≥ 0, n par: bn = a y

n

a =b

b≥0

9 = 3 pues 4 16 = 2 pues

32 = 9 2 4 = 16

Si a es un número real, positivo o negativo, y n es un número natural impar (es decir, no es múltiplo de 2) decimos que:
n

a =b

si

bn = a

Por ejemplo:
5

3

27 = 3 − 32 = −2pues pues

33 = 27 (−2) 5 = −32

Propiedades:
n

a. b = n a . n b

n

a = b

n n

a b
m. n

m n

a =

a

Observación importante: las raíces pares están definidas para números positivos, por eso podemos hacer

(− 3)2

= 9 =3

Sin embargo Es decir
2

(− 3)2 ≠ − 3
9 ≠− 3
2

a pesar de que

(− 3)2 = 9

Es decir 3 = 9 y (− 3) = 9 pero

9 = 3 pues 3 es positivoEsto también ocurre con cualquier raíz de índice PAR. Sin embargo
3

− 8 = − 2 pues

(− 2)3 = − 8

porque es una raíz de índice impar.

Veamos cómo se transforma una expresión en otra usando propiedades.

1 1 1 1+ 2 1+ 2 = ⋅ 1 = ⋅ = 1− 2 1− 2 1− 2 1+ 2 1− 2 + 2 − = − 1− 2
¡ Verificá la igualdad con la calculadora ¡

( 2)

2

=

1+ 2 1+ 2 = = − 1+ 2 = 1− 2 −1

(

)

3Veamos otro ejemplo aplicando las propiedades de la radicación.

(2

3

2

−4 2

)

+

3

2 ⎛ 1⎞ 0 3 64 + 2 18 + ⎜ − ⎟ + (− 3) − 30 = (2 −1 ) + 6 64 + 36 + (− 2) + 1 − 1 = ⎝ 2⎠ 2

−3

⎛1⎞ 1 = 2 −2 + 2 + 6 − 8 = ⎜ ⎟ = 4 ⎝2⎠
Resolver sin usar calculadora y aplicando, en lo posible, propiedades:

2 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ a. ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ (− 15) − ÷ ⎜ − ⎟ 3 ⎝ 2⎠ ⎝5⎠ ⎝ 8⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ 3 1...