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3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
3.1 MODELOS LINEALES
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO: El problema con valores iníciales

Donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con crecimiento o decaimiento. En la sección 1.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones(bacterias, pequeñas animales) en corto periodos de tiempo es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario to , la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro es decir, a tiempos t > to . La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se determina a partir de la solución del problema convalores iníciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1 > to .
EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias.
Inicialmente un cultivo tiene un número Po de bacterias. En t= 1h se determina que el número de bacterias es 3/2 Po . Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias P (t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.VIDA MEDIA En física la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es, simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los átomos en una muestra inicial Ao.
EJEMPLO 2 Vida media del plutonio.
Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años,se ha determinado que 0.043% de la cantidad inicial Ao de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcionalidad a la cantidad que queda.
CIRCUITO EN SERIE
Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda Ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor (L (di/dt) )más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado ( E(t)) al circuito. Vea la figura 3.1.5
Por tanto obtenemos la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t)
(7)+
Donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, también respuesta del sistema.
EJEMPLO Circuito en serie
Unabatería de 12 volts se conecto a un circuito en serie en el que el inductor es el de ½ Henry y la resistencia es de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero.

EJEMPLO 1 Crecimiento logístico.
Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus esproporcional no coló a la cantidad x de estudiantes infectados sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de cuatro días x(4)= 50.














ECUACIONES DIFERENCIALES
DEFINICIÓN Ecuación Diferencial.
Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una omás variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED)
Para hablar acerca de ellas clasificaremos a las ecuaciones por tipo, orden y linealidad.
CLASIFICACIÓN POR TIPO: Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo,


(2)
Aunque esmenos conveniente para escribir o componer tipográficamente, la notación de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación prima en que muestra claramente ambas variables, las dependientes y las independientes. Por ejemplo, en la ecuación.




Se ve inmediatamente que ahora el símbolo x representa una variable dependiente, mientras que la variable independiente es t.
CLASIFICACIÓN POR...