Asses Pitagoras

Temas en Probabilidad: Revisión Sobre Distribuciones Discretas y Continuas

Wilnely Luna Lagares
Departamento de Matemáticas
Universidad Interamericana, Recinto Metropolitano
wilnelyluna@gmail.com

ABSTRACT. — Este trabajo informativo revisa y explica brevemente las distribuciones de probabilidad. Algunas de ellas basadas en la distribución de Bernoulli. Las distribuciones discretasque aquí repasaremos son la distribución binomial, la distribución geométrica y la poisson. También haremos revisión de la distribución normal estándar. Se presentan sus definiciones, propiedades y varios casos donde podemos ver la aplicabilidad de las mismas.

KEYWORD: distribución discreta, binomial, geométrica, poisson, distribución continua normal.

1 Introducción
En la teoría de lasprobabilidades, una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento, estas describen la probabilidad que un evento se realice en el futuro.
En este informe, se revisa de manera breve los diversos tipos de distribución de probabilidad. Algunas de las distribuciones de probabilidad discretas que veremos se basan en experimentos oprocesos en los que se realizan una secuencia de prueba llamada distribución de Bernoulli. Entre las distribuciones de probabilidad discretas más bien conocidas que se utilizan para el modelado estadístico son la distribución de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución geométrica y la distribución de Poisson. También se revisa brevemente la distribución normal estándar donde sedemuestra paso a paso la integración de la función de probabilidad.

2 Distribuciones de Probabilidad Discretas

2.1 Distribución Binomial

La distribución binomial es una distribución discreta de probabilidad conocida por sus variadas aplicaciones que se relaciona con un experimento de etapas múltiples. Un experimento binomial tiene cuatro propiedades:
consiste en una sucesión de nintentos idénticos
en cada intento son dos posibles resultados (Éxito o Fracaso), y esos son resultados mutuamente excluyentes.
la probabilidad de éxito, representado por p, la probabilidad de fracaso, representado por (1-p), ambas no cambia de un intento a otro, es constante en cada intento.
por último, los intentos son independientes

La distribución Binomial de parámetro n y p surge como unasecuencia de n intentos del tipo de Bernoulli, donde sólo existen las propiedades 2,3,4 con n=1
Como la variable n puede tomar los valores {0, 1, 2, . . . , x, . . . , n}, la función de probabilidad
es la siguiente:



Cantidad de resultados experimentales con exactamente x éxitos en n intentos


También es necesario conocer la probabilidad asociada a cada uno de los resultadosexperimentales el cual se puede determinar a través de la siguiente relación



Combinado las dos expresiones obtenemos la función de distribución Binomial




Definición 2.1: Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n y p , entonces la función de probabilidad de X es :
(1)


Note que por la expansión del teorema binomial garantiza que la suma de lasprobabilidad es 1:




Propiedades 2.1

Para la distribución binomial de parámetros n y p:

Valor esperado:







Si hacemos una sustitución de i = x-1 obtenemos





por lo que el valor esperado (2)


Varianza:


por lo tanto

(3)


Desviación Típica: (4)

Ejemplo 2.1: ¿Cuál es laprobabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
Primero, x es el número de aciertos, en este ejemplo x = 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1). Luego, n es el número de intentos, en este ejemplo n = 10. Por último p es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda, por lo tanto p = ½ = 0.5 = 50%
La fórmula quedaría:...