Autoev Algebra

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial TOLEDO

(ÁLGEBRA). Eval 3 9 de diciembre de 2011

Ejercicio 1 Dada la familia de endomorfismos fα : R3 ―→ R3, ∀α ∈R, tales que: fα (1, 1, 1)= (α+2, α+1, -2) fα (0, 1, 1) = (α+1, α+1, -3) fα (1, 0, 1) = (2, 0, -2 ) Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones. a) Dadas las bases B0= {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} y B1 = {(1,1,1),(0,1,1), (1,0,1)} de R3, hallar las matrices A= M(fa, B0 ) y B= M(fa, B1 , B0) y C=M(fa, B1 ). Escribir y nombrar las relaciones matriciales que existen entre las matrices A, B y C. b) Determinar el rangode fα en función de los valores de α. c) Clasificar en función de los valores de α y determinar el núcleo y la imagen en cada caso dando bases y ecuaciones implícitas siempre que proceda. d)Encontrar fα-1 (1, 0, -1) en función de los valores de α. e) Si V = {(x, y, z)∈R3 / x – y + z =0}, determinar fα (V) en función de los valores de α dando una base y su dimensión en cada caso. f) Determinar elespectro de fα en función de los valores de α. g) Estudiar la diagonalizabilidad de fa en función de los valores de α. h) Para α=0 encontrar una base de vectores propios Bp y escribir M(fa, Bp ), lamatriz de paso y la relación de semejanza correspondiente. i) ¿Existe algún valor de α para el que fα sea diagonalizable por congruencia? Razona la respuesta. Ejercicio 2º En el espacio vectorialeuclídeo E=R3 se considera la base canónica U 0 = { e 1, e 2, e 3} y el endomorfismo fa definido del siguiente modo: fa ( e 1) = e 1+ e 2+ a e 3 , fa ( e 2) = a e 1+ e 2 , fa ( e 3) = e 1+ e 3 , donde a esun nº real no nulo. Se pide: a) b) Encontrar los valores de a∈ R para los que f es diagonalizable. Para a=1 encontrar una base U p = { u 1, u 2, u 3} de R3 de vectores propios de f así como larelación entre las matrices A= M(fa, U 0) y
Página 1 

Ingeniería Industrial de Toledo. Departamento de matemáticas 

c) d) e)

J=M(fa U p) y la matriz de paso P correspondiente. ¿Cómo se...