axioma del supremo

Principio del Buen Orden
A = ∅ ⇒ ∃m ∈ A

que ∀n ∈ A

tal

m1
podemos escribir m = (m − 1) + 1 y tenemos que m − 1 ∈ N y m − 1 ∈ B ∴ m − 1 ∈ A lo que implica
/
que m − 1 + 1 ∈ A lo cual es una contradicci´n.
o
∴ El principio del buen orden implica el principio de inducci´n
o
Vamos a probar que:
Principio del inducci´n ⇒ Principio de buen orden
o
Demostraci´n. Vamos a suponer
o
A= ∅ ⇒ ∀m ∈ A ∃n ∈ A

tal

que

m≥n

es decir A no tiene un primer elemento.
Sea B el conjunto de N tal que 1, 2, 3..., k ∈ A se tiene entonces que
/
1∈B

pues 1 ∈ A ⇒ ∀n ∈ A 1 < n

lo cual no ocurre pues A no tiene un primer elemento
Supongamos que k ∈ B tenemos entonces que k + 1 ∈ B pues si k + 1 ∈ A ser´ el primer elemento de A,
ıa
lo cual, no ocurre pues A no tiene primerelemento.
∴ por el principio de inducci´n B = N pero si B = N − A entonces A = ∅ lo cual es una contradicci´n.
o
o
Por lo tanto A debe tener un primer elemento

1

Compleci´n de los n´ meros reales
o
u
Def: Si X es un subconjunto de R, un n´mero real β se dice que es una cota superior de X si, para
u
cualquier elemento x ∈ X, se cumple x ≤ β.
An´logamente, un n´mero real α se dice quees una cota inferior de X si, para cualquier elemento
a
u
x ∈ X, se cumple que α ≤ x.
Un subconjunto X de R se denomina acotado superiormente (respectivamente acotado inferiormente),
si X tiene alguna cota superior (respectivamente inferior). Se dice que X es acotado si lo es superior e
inferiormente.
Si X es un subconjunto de R acotado superiormente, una cota superior s de X se denominasupremo de X, escribi´ndose s = supX, si s es menor que cualquier otra cota superior de X, esto es, si
e
satisface las dos condiciones siguientes:
1) x ≤ s ∀x ∈ X
2) Si x ≤ b ∀x ∈ X entonces s ≤ b.

De forma an´loga, si X es un subconjunto de R acotado inferiormente, una cota inferior i de X se
a
denomina ´
ınfimo de X, escribi´ndose i = inf X, si i es mayo que cualquier otra cota inferiorde X, es
e
decir, si verifica las 2 condiciones siguientes
1) i ≤ x ∀x ∈ X
2) Sib ≤ x ∀x ∈ X, entonces b ≤ i

Cuando el supremo s de un conjunto X cumple s ∈ X, se dice que el supremo de X es accesible y
se denomina entonces m´ximo de X, escribi´ndose max X. Si el ´
a
e
ınfimo de un subconjunto X pertenece
a dicho conjunto, se denomina m´
ınimo de X y se escribe min X.

Ejemplos:
+
˜a) El conjunto R0 = {x ∈ R| 0 < x} No esta acotado superiormente ya que no existe ning´n n´mero
u u
+
real β tal que x ≤ β ∀x ∈ R0 . No obstante dicho conjunto esta acotado inferiormente pues todo n´mero
u
+
+
real negativo α es cota inferior de R0 ya que se cumple α < 0 < x ∀x ∈ R0 .

1
n ∈ N Tiene cota inferior, tiene cota superior
n
Tiene max = 1, tiene min = 0
b)

c)

1
n ∈Zyn = 0
n

1
Tiene cota inferior = − , tiene cota superior= 1
2
2

Tiene max = 1, tiene min = −

1
2

1
3
Tiene cota superior= , tiene cota inferior= −1
+ (−1)n n ∈ N
n
2
3
˜
Tiene max = , no tiene min
2
d)

Axioma del Supremo
Si S es un conjunto de n´meros reales no vac´ y acotado superiormente, existe sup S.
u
ıo
Teorema 1. Si S es un conjunto de n´meros reales novac´ y acotado inferiormente entonces S tiene
u
ıo
´
ınfimo.
Demostraci´n. Sea m una cota inferior de S y H el conjunto de las cotas inferiores. H es no vac´ pues
o
ıo
m ∈ H. H esta acotado superiormente por cualquier elemento de S. Sea M el supremo de H. Entonces
µ = inf S 1) ∀x ∈ S se verifica µ ≤ x (µ es cota inferior)
2) ∀y ∈ H y ≤ µ.
Por tanto µ es el ´
ınfimo de S.
Teorema 2. Si Ses un conjunto de n´meros reales tal que supS existe, entonces supS es unico
u
´
Demostraci´n. Supongamos que supS = A y supS = B entonces A ≤ B por ser B = supS
o
B ≤ A por ser A = supS ∴ A = B
Teorema 3. Sea S un conjunto no vac´ de n´meros reales y acotado superiormente, entonces M =
ıo
u
sup S ⇔ 1) x ≤ M ∀x ∈ S y 2) ∀ε > 0 existe x ∈ S tal que M < x + ε.
Demostraci´n. ⇒ Sea M = sup...