axiomas demostrados

Sistemas de los Números Reales
El sistema de los números reales es un cuerpo ordenado y completo. Lo notaremos R.
En R consideraremos las operaciones usuales de adición y multiplicación.
x, y ∈ R:x + y ∈ R, xy ∈ R.
Las operaciones de adición y multiplicación satisfacen los siguientes axiomas conocidos
como axiomas de cuerpo.
∀x, y ∈ R, x + y = y + x ; xy = yx
∀x, y , z ∈ R, x + ( y + z )= ( x + y ) + z y x ⋅ ( y ⋅ z ) = ( x ⋅ y ) ⋅ z
∃0 ∈ R, ∀x ∈ R, x + 0 = 0 + x = x , y ∃1 ∈ R, 1 ≠ 0 , ∀x ∈ R, x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x
∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R, x + ( − x ) = 0 y ∀x ∈ R*, ∃x −1 ∈ R, x ⋅ x −1 = 1. Estos son
llamados opuesto e inverso respectivamente.
5. ∀x, y , z ∈ R, x( y + z ) = xy + xz
1.
2.
3.
4.

Teorema 1: Los elementos 0 y 1 del axioma 3 son únicos.
Demostración:
Supongamosque existen dos elementos 0 y 0’, con 0 ≠ 0' tales que:
∀x ∈ R, x + 0 = x y,
∀x ∈ R, x + 0' = x
Entonces tenemos que:
0'+0 = 0'
0 + 0' = 0

(1)

Pero por axioma 1 se cumple que:
0 + 0' = 0'+0= 0 (2)
De donde, igualando (1) y (2) vemos que,
0 = 0'

Pero por hipótesis teníamos que 0 ≠ 0' , por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y en
consecuencia el este 0 es único.
Teorema 2: Elopuesto y el inverso son únicos (Unicidad del opuesto y del inverso).
Demostración:
Supongamos que existen dos elementos x ' y x '' , con x ' ≠ x '' , tal que:

∀x ∈ R, x + x ' = 0 y,
∀x ∈ R, x+ x '' = 0
Ahora, por axioma 3, se cumple que,
x' = x' + 0
= x ' + x + x ''

(

(

)

)

= x ' + x + x ''
= 0 + x'
Pero por hipótesis teníamos que x ' ≠ x '' , por lo tanto lo quesupusimos es incorrecto y
en consecuencia el opuesto es único.
De manera similar se prueba que el inverso también es único.
Teorema 3: Sean a, b, c ∈ R. Se tiene:
i.

a+c =b+c⇒a =b

Demostración:( a + c) = ( b + c)
( a + c) + ( − c) = ( b + c) + ( − c)
a + [c + ( − c)] = b + [c + ( − c)]
a+0=b+0
a=b
ii.

0 ⋅ a = 0 , ∀a ∈ R
Demostración:
0 ⋅ a = ( 0 + 0) ⋅ a
0⋅a = 0⋅a + 0⋅a
0⋅a...