Axiomas

Axiomas de los Números Reales
Definición: Un axioma es una verdad evidente ó una expresión lógica utilizada en la deducción para llegar a una conclusión.¿Qué propiedades deben cumplir estos números?


Axiomas de Campo

Axioma 1. x + y = y + x, xy = yx (leyes conmutativas)

Axioma 2. x + (y +z) = (x + y) + z, x (yz) = (xy)y (leyes asociativas)

Axioma 3. x(y + z) = xy + xz (ley distributiva)

Axioma 4. Dados cualquier par de números realesx & y, existe un número real z tal que x + z = y. Se denota a esta z con y - x; el número x - x se denota con 0. (Se puede probar que 0 es independiente dex.) Denotamos a -x con 0 - x y llamamos a - x el negativo de x.

Axioma 5. Hay al menos un número real x ≠ 0. Si x & y son dos números reales con x≠ 0, entonces existe un número real z tal que xz = y. Se denota a esta z con y/x; el número x/x se denota con 1 y se puede demostrar que es independientede x. Escribimos x ^(-1)con 1/x si x ≠ 0 y llamamos a x^(-1) el recíproco de x.


Axiomas de Orden
Axioma 6. Se cumple exactamente una de lasrelaciones
x = y, x < y, x > y.
NOTA. x > y significa lo mismo que y < x.

Axioma 7. Si x < y, entonces para cada z tenemos
x + z < y + z.

Axioma 8.Si x > 0 & y > 0, entonces xy > 0.

Axioma 9. Si x > y & y > z, entonces x > z.

NOTA. Un número real x se llama positivo si x > 0, y negativo si x <0. Denotamos con R^+ al conjunto de todos los números reales positivos, y con R^- al conjunto de todos los números reales negativos.
Axioma de Completitud