ayudantia inferencia

Ayudantia N◦1: Inferencia Estad´
ıstica


Temas:
• Modelo Estad´
ıstico.
• Funci´n de Verosimilitud.
o
• Estad´
ısticas Suficientes.
• Estimadores Eficientes.

Ejercicios
1. Sea X = (X1 ,..., Xn ) una m.a.s de la poblaci´n con densidad dada por f (x|θ) = θxθ−1 ,
o
0 < x < 1, donde θ > 0.
(a) Demuestre que Y = −logX se distribuye exponencial de par´metro θ.
a
(b) Describa loselementos del modelo estad´
ıstico.
(c) Calcule la funci´n de verosimilitud.
o
n

(d) Muestre que T = −

logXi es una estad´
ıstica suficiente para θ.
i=1

(e) Obtenga la distribuci´n deprobabilidad T.
o
Calcule E[T]y V[T].
(f) Calcule el estimador de m´xima verosimilitud de θ.
a
(g) A partir del estimador m´ximo verosimil, construya un estimador insesgado de θ.
a
(h) ¿Es eficienteel estimador insesgado construido en (g)?.
2. Sea X = (X1 , ..., Xn ) una muestra aleatoria de la distribuci´n Rayleigh de par´metro α,
o
a
2
con densidad dada por f (x|α) = α x exp

−x2
α, x > 0, donde α > 0.

(a) Demuestre que si X se distribuye Rayleigh de par´metro α entonces X 2 se distribuye
a
exponencial de media α.
(b) Encuentre una estad´
ıstica suficiente T para α.
(c)Determine, rigurosamente, la distribuci´n de T.
o
(d) Determine el valor de la constante c de manera que E[cT ] = α.
(e) Calcule limn→∞ V ar[cT ].
(f) Determine el E.M.V de α.

1

3. Sea X =(X1 , ..., Xn ) una muestra aleatoria simple de la distribuci´n de X con funci´n
o
o
de densidad dada por
f (x|θ, α) =
donde θ > 0 y α

(α + 1)xα
, 0 < x < θ,
θα+1

1 es conocido.

α+1(a) Muestre que E[X k ] = α+k+1 θk , k = 1, 2, ...
Deduzca E[X], V ar[X].

(b) Determine, rigurosamente, una estad´
ıstica suficiente para θ.
(c) A partir del estimador de m´xima verosimilitud deθ, construya un estimador insesa
gado de θ.
(d) A partir del estimador de momentos de θ, construya un estimador insesgado de θ.
(e) Determine cual de los dos estimadores insesgados anteriores es...