Bachiller en ciencias

INDICE

Pág.
Introducción…………………………………………………………………… 3
Transformaciones lineales…………………………………………………… 4
Propiedades de transformaciones lineales………………………………… 4
Clasificación de las transformaciones lineales…………………………….. 5
Teorema fundamental de las transformaciones lineales………………… 5
Matriz asociada a una transformación lineal………………………………. 6Función lineal como propiedad de los sistemas generales………………… 7
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional……………………………….. 8
Sistemas de ecuaciones lineales……………………………………………. 9
Ventajas de las funciones lineales. ………………………………………….. 10
Conclusión………………………………………………………………………. 11
Bibliografía………………………………………………………………………. 12

INTRODUCCIÓN

Unatransformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulolas estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de lasmatemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

A continuación estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

TRANSFORMACIONES LINEALESEs una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

Ejemplo:

Sean V y W espacios vectoriales
Sea T una función cuyo dominio (conjunto de salida) es V y cuyo codomio (conjuntode llegada) es W entonces
(T: V---->W)
Es decir
Función T aplicada al vector V da lugar a W

Se dice que T es una transformación lineal si cumple lo siguiente:

1) Para todo x, y elementos de V
T(x+y)=T(x)+T (y)

2) Para todo x perteneciente a V y (a) perteneciente al conjunto de los reales o los complejos

T (ax)=aT(x)

PROPIEDADES DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Sean [pic]y[pic]espacios vectoriales sobre [pic](donde [pic]representa el cuerpo) se satisface que:
Si [pic]es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
[pic]
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es unsubespacio del dominio:
1. [pic]dado que [pic]
2. Dados [pic]
3. Dados [pic]
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. [pic]
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de unatransformación lineal es la dimensión de la imagen.
[pic]

CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Monomorfismo: Es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 'Transformaciones lineales'

Epimorfismo: Es sobreyectiva (exhaustiva).

Isomorfismo: Es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

Endomorfismo: o sea si el dominio es igual al codominio (el...