Bachiller

Tema 2

Espacio Vectorial Eucl´
ıdeo.
M´
ınimos cuadrados
En el tema anterior estudiamos el Espacio Vectorial Rn , donde definimos las operaciones de
suma de vectores y producto de un vector por escalares. En este tema introducimos una nueva
operaci´n: producto escalar entre vectores. De esta nueva operaci´n se derivan los conceptos
o
o
de m´dulo (longitud) de un vector y angulo queforman dos vectores, y en consecuencia, los
o
´
conceptos de distancia y ortogonalidad geom´trica como se intuye en R2 y R3 .
e
Definiremos con esto la ortogonalidad entre subespacios y como resultado principal veremos que Rn es suma directa de cualquier subespacio vectorial y su ortogonal. Como consecuencia, podremos calcular la distancia m´
ınima de un vector a un subespacio F , y el vectorde F donde se alcanza dicho m´
ınimo: la proyecci´n ortogonal sobre F .
o
Todo el estudio realizado sobre el espacio vectorial eucl´
ıdeo lo utilizaremos para construir
soluciones aproximadas, ´ptimas en el sentido de lo que denominaremos m´
o
ınimos cuadrados,
de sistemas de ecuaciones lineales incompatibles.

2.1.

Producto escalar. Norma y distancia eucl´
ıdea

Definici´n 1. Sea Vun espacio vectorial sobre R. Un producto escalar o interno sobre
o
V es una aplicaci´n tal que a cada par de vectores x e y de V le asigna un n´mero real, que
o
u
denotaremos por x · y, de manera que para cualesquiera x, y, z ∈ V , y cualquier k ∈ R se
satisfacen las siguientes propiedades:
1. x · x ≥ 0

x·x = 0⇔x = 0

2. x · y = y · x
3. x · (y + z) = x · y + x · z
4. (kx) · y = k(x· y)
Un espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar se llama espacio vectorial eucl´
ıdeo. Todo espacio vectorial de dimensi´n finita puede dotarse de un producto
o
escalar y convertirse por tanto en espacio vectorial eucl´
ıdeo.
1

TEMA 2. ESPACIO VECTORIAL EUCL´
IDEO. M´
INIMOS CUADRADOS
Ejemplo 2. Cuando V = Rn , podemos definir la siguiente operaci´n entre vectores(como
probar que se trata de un producto escalar): si x, y ∈ V , con x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ),
entonces
x · y = x1 y1 + ... + xn yn .
 
x1
 . 
Observemos que si escribimos los vectores x e y como matrices columna, x =  . , y =
.


xn







y1
y1
 . 
. , se tiene que x · y = xt y = (x1 . . . xn )  .  , donde recordemos que para una matriz
 .
 .
.
yn
yn
A, su matriz transpuesta At es la resultante de cambiar filas por columnas.
Definici´n 3. Sea V un espacio vectorial donde se ha definido un producto escalar, llamamos
o
norma o m´dulo de un vector x ∈ V al siguiente n´mero real
o
u
√
x =+ x·x

A los vectores x ∈ V que satisfagan x = 1 se les llamar´ vectores unitarios.
a
A partir de la definici´n y de las propiedades delproducto escalar es f´cil comprobar las
o
a
siguientes propiedades de la norma: para cualesquiera x, y ∈ V y k ∈ R se satisface:
1. x = 0 si y s´lo si x = 0
o
2. kx = |k| · x
3. (Desigualdad triangular)

x+y ≤ x + y
|x · y| ≤ x

4. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
s´lo si x e y son proporcionales.
o
5. (Ley del paralelogramo)

x+y

2

+ x−y

2

=2

y , y la igualdad se dasi y
x

2

+ y

2

.

A partir de la norma, vamos de definir una distancia en Rn , la distancia eucl´
ıdea: Dados
x, y ∈ V , llamaremos distancia entre x e y, y la denotamos por d(x, y), al n´mero positivo
u
d(x, y) = x − y

por tanto

x = d(x, 0)

.

A partir de las propiedades de la norma se deduce que para cualesquiera x, y, z ∈ V , la
distancia satisface:
1. d(x, x) = 02. d(x, y) = d(y, x) (simetr´
ıa)
3. d(x + z, y + z) = d(x, y) (invarianza por traslaci´n)
o
4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular).
Ingenier´ T´cnica
ıa e
Forestal

2

Fundamentos Matem´ticos
a
Curso 2004/05

2.2. ORTOGONALIDAD. PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE SUBESPACIOS
Todo espacio vectorial que tenga definida una distancia recibe el nombre de espacio...