bachiller

Sistemas de ecuaciones lineales homog´neas
e
Objetivos. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales homog´neas (son aquellas ecuaciones
e
lineales que tienen constantes iguales a cero). Mostrar quela soluci´n general de estos
o
sistemas se puede escribir como una combinaci´n lineal de n − r vectores, donde n es el
o
n´mero de las inc´gnitas y r es el n´mero de los renglones no nulos en laforma escalonada.
u
o
u
Requisitos. Eliminaci´n de Gauss-Jordan, matrices escalonadas reducidas, o pseudoo
escalonadas reducidas, construcci´n de la soluci´n general de un sistema de ecuaciones
oo
lineales.
Aplicaciones. N´cleo de una transformaci´n lineal.
u
o
1. Definici´n (sistema de ecuaciones lineales homog´neas). Un sistema de ecuao
e
ciones lineales homog´neas es un sistema dela forma Ax = 0, esto es, con columna de
e
constantes nula.
2. Observaci´n. Todo sistema de ecuaciones lineales homog´neas es compatible, porque
o
e
el vector cero es una de sus soluciones,llamada soluci´n trivial. Para un sistema de
o
ecuaciones lineales hay dos casos posibles:
(a) puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una soluci´n (la trivial);
o
(b) puede sercompatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una soluci´n no
o
trivial.
En cada ejemplo hay que determinar cu´l situaci´n tiene caso y describir el conjunto de
a
o
todas las soluciones.3. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homog´neas:
e

 3x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = 0;
8x1 − 5x2 − 4x3 + x4 = 0; .

−2x1 + x2 + 6x3 + 7x4 = 0.
Soluci´n. La columna deconstantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones
o
elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar
con la matriz de coeficientes.

 R2 += −8R1

1 −2/3 1/3 4/3
3 −2
1 4
1
R ∗= 3
R += 2R1
 8 −5 −4 1  −1− →  8
−5 −4
1  −− − −
−−
−3 − − →
−2
1
6
7
−2
1
6 7


1
 0
0

1
 0
0







R1 += 2 R2
3...